脑与数学（1）

书名：脑与数学

作者：［法］斯坦尼斯拉斯·迪昂（Stanislas Dehaene）

译者：周加仙等

大胆挑战脑科学研究的终极问题

大脑是目前人类发现的最复杂的结构，是除宇宙之外人类最大的未解之谜，宛若研究领域最闪耀的一顶王冠。而王冠之上那颗璀璨的明珠，则要属意识研究——它如此令人着迷，如此深不可测，充满挑战性，吸引着全世界所有科学和脑研究领域的巨擘的目光，他们也正为探究人类意识之谜做着卓越贡献。

在他们之中，作为全世界最有影响力的认知神经科学家之一，斯坦尼斯拉斯·迪昂厥功至伟。

“神经科学界诺贝尔奖”获得者

迪昂是目前欧洲脑科学研究领域的领头人、法兰西学院实验认知心理学教授、著名认知神经科学家，其研究涉及脑与意识、数学、阅读等多个领域，均取得了令世人瞩目的成果，比如，他通过实验在大脑中发现了主观意识的客观标志，让人们能真正“看见”意识。他已在《自然》《科学》等国际权威杂志上发表300多篇文章，是脑科学及数学认知领域公认的专家。

迪昂是一位世界级的科学家，他开创了一系列研究意识的实验，这些实验彻底改变了这一领域，并为我们带来了第一个直接研究意识生物学的方法。

埃里克·坎德尔

Eric Kandel

2000年诺贝尔生理学或医学奖获得者

由于为人类大脑领域的研究做出了重要贡献，2014年，迪昂同其他两位科学家共同获得了有“神经科学界诺贝尔奖”之称的“大脑奖”。该奖项每年评选一次，奖金100万欧元，是世界上影响力最大、最有分量的脑科学研究奖项。迪昂实至名归。

站在巨人肩上的探索者

其实，迪昂最初所学的专业并非认知神经科学，而是数学。他本科毕业于巴黎高等师范学院数学专业，又获得巴黎第六大学应用数学及计算机科学专业硕士学位。

后来，受让-皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）在神经科学方面的研究吸引，他将研究方向转向了心理学及神经科学，跟随认知神经科学创始人乔治·米勒、转换生成语法理论创始人诺姆·乔姆斯基、认知发展理论创始人让·皮亚杰三位大师的学生杰柯·梅勒学习，获得博士学位，可谓传承了三位“师爷”的智慧结晶。

众多领域的先驱开拓者

迪昂在他涉及的各研究领域都是先驱研究者。

在数学认知领域，迪昂是公认的专家，他的《脑与数学》一书被哈佛大学等著名大学用作专业教材。迪昂也是语言及阅读领域的专家，他在《脑与阅读》一书中提出关于人类阅读能力的新理论，有力地驳斥了大脑具有无限学习能力的传统观点；另外，他在阅读障碍及阅读学习方面取得的研究成果，对教育领域也同样具有重要参考价值。在另一本佳作《脑与意识》一书中，迪昂总结了近20年来关于意识与思维的前沿研究成果，翻开了脑科学领域研究的新篇章。

迪昂的科学探索还在继续，他将不断挑战更难、更复杂的问题，破解大脑中更多未被开发或未被探索的秘密，进一步帮助人类拓宽视野，为解开人类大脑之谜谱写新篇章。

献给吉莱纳（Ghislaine）、奥利弗（Oliver）、大卫（David）和纪尧姆（Guillaume）

前言

科学著作是无意间形成的时间胶囊。它没有保质期，这就表明，在图书出版之后的多年里，读者可以运用他们的博闻广识，对书中所提出的理论、事实和证据进行评估。《脑与数学》一书是我15年前在20多岁时完成的一本著作，它同样也符合这一规律。

20世纪90年代初期，我开始着手撰写《脑与数学》一书，幸运的是，当时对数量的研究尚处于初级阶段，只有少数实验室刚刚触及这一领域的表层。一些研究者关注婴儿如何感知物体的集合，一些研究者则关注学龄儿童学习乘法口诀表的方式，还有一些研究者则更关注脑损伤所引起的计算能力受损的患者的怪异行为。最后，还有一些研究者，比如我，为了弄清楚学生被问及简单的算术问题（比如，6比5大吗？）时哪些脑区会被激活，率先进行了脑成像研究。当时，我们之中只有少数人意识到，有朝一日，这些研究会汇聚为一个独立的领域——数学认知领域，会通过多层面的技术来回答神经学家沃伦·麦卡洛克（Warren McCulloch）那个令人振奋的问题：

人能够理解的数字是什么？能够理解数字的人是什么样的？

对《脑与数学》一书，我唯一的写作目的是，整合能搜集到的有关人脑如何进行初级算术的所有事实，并证明一个实验证据丰富、具有广阔前景的全新领域正在萌芽。同时，我也希望此书能够阐明古代哲学关于数学本质的争论。在对这一新兴领域的所有分支研究进行整合的那三年里，我认识到，这些复杂的研究可以整合为一个合乎逻辑的整体，因此，我的研究热情与日俱增。对动物的研究表明，它们拥有加工近似数量的古老能力，这种“数感”在人类的婴儿阶段同样存在，它赋予人类数量直觉。而诸如算盘或阿拉伯数字这样的文化产物，则将这种直觉转换为我们对符号数学的全面认知能力。因此，对数感的相关脑结构进行认真研究，显然可以解释人类对数学的理解，阐明进化过程，并将人类的数学能力与猴子甚至老鼠和鸽子的脑表征数量的方式联系起来。

自15年前完成此书以来，一些创新性的研究以前所未有的力量推动着这个领域的发展。现在，数学认知是认知科学范畴中的一个成熟领域，它不再只专注于数量的概念和起源，而是拓展至代数、几何等相关领域。《脑与数学》一书中仅仅概述过的一些研究主题，如今已经发展成全面完整的研究领域，如动物的数感、数值计算的脑成像研究、数学学习困难儿童的障碍本质等。其中最令人兴奋的一个突破性进展，是在猴脑中发现了负责数量编码的单个神经元，它们位于顶叶皮层的一个特定位置，这个区域对应于人类进行运算时所激活的脑区。另一个突飞猛进的发展，是这些知识在教育中的应用。我们开始理解学校教育如何培养学生对精确数量和算术的理解，以及如何用简单的游戏和软件帮助那些可能存在计算障碍的儿童。

重读此书的第1版时，我欣喜地发现，尽管这些想法在15年前有几分猜测性，但现在它们都已萌芽。既然这些研究已经证实了这些想法，我认为《脑与数学》一书应该再版了。诚然，1997年以来出版了许多优秀的书籍，其中有布赖恩·巴特沃思（Brian Butterworth）在1999年所著的《数学脑》（ The Mathematical Brain）、拉斐尔·努涅斯（Rafael Nuez）和乔治·莱考夫（George Lakoff）于2000年所著的《数学来自哪里》（ Where Mathematics Comes From），以及杰米·坎贝尔（Jamie Campbell）在2004年编写的《数学认知手册》（ Handbook of Mathematical Cognition），但是没有一本书囊括了如今我们对脑与数学的所有认识。

非常感谢我的代理人马克斯·布罗克曼（Max Brockman）和约翰·布罗克曼（John Brockman），也非常感谢编辑阿比·格罗斯（Abby Gross）和奥迪尔·雅各布（Odile Jacob），是他们鼓励我撰写这本新版的《脑与数学》，并帮助我确定此书的撰写形式。我们一致认为重写旧版较为棘手，甚至有些冒失。重要的是，我们要让读者感受到这个领域在过去20年间是如何形成的，是什么激发了我们提出现在的假设和实验方法，在此之后又取得了哪些进展，以及它如何充实或者驳斥了我们的理论（所幸后者不太多）。因此，我们所构思的第2版没有改变过去的版本，但会运用新的文献对其进行补充，尤其是会补充一个新的章节，以较长的篇幅勾勒出自第1版出版至今该领域中最重要的发现。过去15年间，这个领域经历了巨大的发展，所以挑选将要收入最终章节的相关研究是一项艰巨的任务。确实，相关的科学发现不胜枚举，我决定挑选能够从大脑层面阐述算术的实质以及阐述如何进行算术教学的一小部分惊人的发现。

大多数数学家，或显或隐，都是柏拉图主义者（Platonists）。他们认为自己所探索的领域独立于人类思维而存在，它比生命更古老，是宇宙结构的固有成分。伟大的数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）在他的专著《数的本质及其意义》（ The Nature and Meaning of Numbers）中却不这样认为。他认为，数是“人类思维的自由创作”，是“纯粹思维法则的直接产物”。我非常认同这一观点，但是解释证明这一观点的重担就落在了心理学家和神经科学家的肩上。他们需要弄清楚，一个仅仅由神经细胞构成的有限的大脑是如何运用这类抽象思维的。这本书能够为解答这一引人入胜的问题做出些许贡献。

斯坦尼斯拉斯·迪昂

2010年7月

引言

任何诗人，即便是最讨厌数学的诗人，为了写出亚历山大式的诗行也不得不从1数到12。

——雷蒙·凯诺（Raymond Quéneau）

在我第一次坐下来写这本书时，我遇到了一个有些荒唐的算术问题：如果这本书预计有250页，一共9个章节，那么每章有几页？认真思考以后，我得出了结论：每章略少于30页。我花了大约5秒的时间，对于人类来说，这样的计算速度并不算慢，然而这却远远比不上任何一台电子计算器的速度。计算器不仅反应迅速，而且它得出的结果精确到了小数点后10位：27.777 777 777 8！

为什么我们的心算能力远不如计算器的计算能力？我们是如何做到不通过精确计算就得出“略少于30页”这样接近的值的？这一过程甚至连最好的电子计算器都做不到。解答这些令人困扰的问题就是本书的主要目的，在此过程中，我们会面临更多具有挑战性的谜题：

·　为什么经过了多年训练后，仍然有不少人不能确定7乘以8的结果是54还是64，或者是56？

·　为什么我们的数学知识如此脆弱，一次轻微的脑损伤就足以彻底破坏数感？

·　5个月大的婴儿怎么会知道“1+1=2”？

·　像黑猩猩、老鼠和鸽子这样没有语言的动物，怎么可能也具备一些初级算术知识？

我的假设是，这些问题的答案必将回溯至同一个根源：脑的结构。我们进行的每一次思考和计算都源于大脑皮层中特异性的神经回路的激活。抽象的数学建构源于脑神经回路的协调运作，以及在人类产生之前，数百万种动物的脑塑造和选择了我们现有的数学工具。我们能了解神经结构给我们的数学活动带来的限制吗？

自达尔文以来，进化论一直都是生物学家的重要参考理论。就数学来说，生物进化和文化进化同样重要。数学不是一成不变的，不是天赐的完美典范，而是随着人类的研究探索不断演化的。即便是我们现在所使用的再简单不过的数字符号，也是历经几千年缓慢形成的。如今的乘法计算、平方根、实数集、虚数集以及复数集等概念也同样如此，所有这些概念仍然保留着其在近代艰难诞生时所遗留的痕迹。

数学之所以会经历如此缓慢的文化进化，应该归结于一个非常特别的生物器官：人脑。受到自然选择法则的支配，人脑本身就是更为缓慢的生物进化的典型产物。自然选择的压力塑造了眼睛的精密生理机制、蜂鸟翅膀的形状、蚂蚁这样的小型“机器人”，同样也塑造了人脑。年复一年，物种更替，大脑中涌现了越来越多特异性的心理器官，这些结构优化了大脑对大量感觉信息流的处理，并使生物反应更适应充满竞争甚至充满敌意的环境。

人脑中特异性的心理器官之一是一种原始的数字处理器，它部分预设了学校教学中所讲授的算术内容。虽然听起来不太可能，但是有些人认为“愚蠢或是邪恶”的动物，比如鸽子或老鼠，实际上在计算方面很有天赋。它们能够在心理层面表征数量，并且能够根据一些算术规则对数量进行转化。研究这些能力的科学家认为，动物拥有一种心理模块，一般被称为“累加器”（accumulator），它能够存储不同的数量。在之后的章节中，我会向大家展示老鼠如何利用这个心理累加器来辨别由2个、3个或4个声音组成的声音序列，以及如何计算2个数量相加的近似值。累加器机制为感知觉开启了一个全新的维度，通过这一维度，感知一系列物体的大致数量就变得像感知物体的颜色、形状和位置一样简单。这种“数感”使人类以及其他动物都拥有理解数量意义的直觉。

托比亚斯·丹齐格（Tobias Dantzig）在他的著作中颂扬“数字是科学的语言”，并强调了它作为数量直觉的初级形式的重要性：“人类即便处于较低的发展阶段，也拥有这样一种技能，我将其称为数感。这种技能使得人们在不需要运用直接知识的情况下，在一个客体被移除或加入一个小集合时，也能够意识到这个集合发生了改变。”

丹齐格在1954年写下了上面这段话。当时让·皮亚杰的理论正引领着整个心理学领域，他的理论否认儿童拥有任何数学能力。直到20多年后，皮亚杰的建构主义才被彻底驳斥，而丹齐格的观点则被证实：所有人，即便是在他们生命的第一年中，都拥有发展完好的数字直觉。后面我将剖析一些巧妙的实验，它们展示了人类婴儿远非一无所知，他们从刚出生开始就掌握了一些零星的算术知识，堪比某些动物对数字的认知。仅6个月大的婴儿就已经掌握了初步的加减法！

但是千万不要产生误解。显然，只有成年人的脑才能够意识到37是一个素数，或者知道如何计算π的近似值，婴儿或动物是不可能做到这些的。事实上，这些能力仍然是某些文化背景中少数人的特权。婴儿的脑无法体现数学的灵活性，它们只能在有限的范围中运用少量的算术能力，更不必说动物的脑了。确切地说，动物的累加器不能处理离散量，而只能处理连续数量的估计值。鸽子永远也无法分辨49和50，因为它们只能以一种近似的、不断变化的方式来表征数量。对于动物来说，5加5并不等于10，而是10左右：可能是9、10或者11。如此低的数敏度和如此模糊的内部数字表征使动物无法形成有关精确算术的知识。动物受限于它们的脑结构，只能掌握近似算术。

然而，进化赋予人类一种额外的能力：创造复杂符号系统，包括口头语言和书面语言。单词和符号能够区分意思相近的概念，这使得我们不必局限于近似值。语言使我们能够表达无限多的数字，而在这些表达方式中，发展最完善的是阿拉伯数字，它们能够表达和分离任何连续量。正因为这些表达方式的存在，我们才能将那些在数量上相似，但是在算术性质上却截然不同的数字区分开来。也只有以此为基础，才能够构造出对两个数字进行比较、相加或相除时的纯形式化的法则。事实上，数字的产生并没有直接参照其他具体的对象，而是有着独属于它自己的生命历程，这样，数学的“脚手架”才能越搭越高，越来越抽象。

然而，我们会发现这中间存在一个悖论。自从10万年前智人出现至今，人类的大脑没有任何实质性的改变。事实上，我们的基因通过随机变异的方式只能发生缓慢和微小的进化，需要经过上千次失败的尝试才能从一片嘈杂中得到一个值得传递给下一代的有益基因变异。与此相反，文化的进化要迅速得多。任何想法、发明和进步，一旦在一些聪慧的头脑中萌芽，就能通过语言和教育的方式传播给所有人。这就是我们今天所知道的数学在短短几千年间逐渐形成的方式。数字的概念由巴比伦人提出，由希腊人完善，由印度人和阿拉伯人精炼，由理查德·戴德金和朱塞佩·皮亚诺（Guiseppe Peano）形成公理，再由埃瓦里斯特·伽罗瓦（variste Galois）进行概括，它从未停止过在不同文化中的演进，然而却没有要求对与数学有关的遗传物质进行任何改进！从初步的估计来看，爱因斯坦的脑与在马格德林时期绘制拉斯科洞窟的那位艺术大师的脑没有明显区别。在小学学习现代数学的儿童所拥有的脑，起初的设计是为了在非洲大草原上生存。

我们如何使生物进化方面的惰性与闪电般快速发展的文化协调一致呢？非凡的现代工具，如正电子发射计算机断层扫描（PET）和功能性磁共振成像（fMRI），使得我们能够在活体人脑中获得负责语言、问题解决和心算活动的脑回路的影像。我们会看到，当大脑面临进化过程中没有遇到过的任务，比如两位数的乘法，它会调动一个庞大的脑区网络结构，虽然这些脑区的原始功能与两位数乘法无关，但是将它们结合起来就能够达到目标。除了与老鼠和鸽子一样的近似累加器，人脑中很可能不包含其他任何负责数字和数学任务的“算术单元”。然而，人脑通过运用其他替代回路弥补了这点不足，虽然这些回路只能起缓慢而间接的作用，但对这项任务却或多或少是有用的。

因此，文化客体，比如书面文字或数字，可以被视为一种侵蚀原本用作他途的脑系统的“寄生物”。以文字阅读为例，有时这个“寄生物”会极富侵蚀性，甚至能够完全替代某个脑区原先的功能。因此，一些在其他灵长类动物中负责识别视觉对象的脑区，在能够阅读的人身上，则对识别字母和数字串起着不可替代的特异性作用。

由于所处的背景和时代不同，人脑可以计划一场针对猛犸象的猎捕行动，或者构思对费马大定理（Fermat’s last theory）的论证，这使我们不得不惊叹于脑的灵活性。然而，这种灵活性不能被过高地估计。我认为脑回路的优势和局限恰好决定了我们在数学学习方面的长处和短处。人脑，就像老鼠的脑一样，在远古时代就被赋予了对数量的直觉表征，这就是人类对处理近似值极具天赋的原因，同时也解释了为什么“10大于5”的结果对于我们来说如此显而易见。相反，我们的记忆与计算机不同，不是通过数位来表示，而是以观念联想的方式运作，这也许解释了为什么我们在记忆由少量等式组成的乘法表时会如此困难。

正如数学家的大脑逐渐适应数学的要求那样，数学对象也越来越适应大脑的限制。数学的历史提供了充足的证据来证明人类的数字概念绝不是一成不变的，而是处于不断进化的进程中。多少世纪以来，数学家们辛勤工作，通过扩大数字符号的普及性、增加其在各领域中的应用性，以及简化其形式等方式，增进了数字符号的用途。与此同时，数学家们在不经意间开发出了一些使得数字符号能够适应人脑结构限制的方法。虽然对于现在的儿童来说，几年的教育就足以让他们学会数字概念，但是我们不应该忘记，在这之前，我们经历了好几个世纪的完善才使这一系统的运行变得如儿童游戏一般轻而易举。现在的一些数学对象之所以显得十分直观简单，就是因为它们的结构非常契合人脑结构。但事情还有另一面，许多儿童觉得学习分数十分困难，这是因为他们的皮层机制抵制这种违反直觉的概念。

如果脑的基本结构会给我们理解算术带来很大的限制，那么为什么一些儿童能够在数学领域取得成功呢？高斯、爱因斯坦和斯里尼瓦瑟·拉马努扬（Srinivasa Ramanujan）等杰出的数学家怎么会对数学对象如此熟悉？一些智商为50的“智障学者”（idiot savant）又是如何在心算方面表现出特殊才能的？我们是否不得不做出这样的假设：一些人在出生时就拥有特殊的脑结构，或是拥有一种可以让他们成为天才的生理素质？其实，只要仔细验证，我们就会发现这是不成立的。总之，到现在为止，几乎没有证据可以证明，伟大的数学家和计算奇才被赋予了与众不同的神经生理结构。与其他人一样，数学家也要与步骤冗长的计算以及深奥的数学概念作斗争，如果他们成功了，也只是因为他们在这个主题上投入了大量的时间，并且最终发现了完美的算法，这些巧妙的、任何人通过努力都能学会的快捷方法，巧妙地利用了人脑结构的长处而回避了其局限性。数学家们的独特之处在于，他们对数字和数学表现出极大的、不间断的激情。有时一种被称为孤独症（autism）的脑部疾病（表现为不能长期保持正常的人际关系）会助长这种激情。我相信，拥有同样初始能力的儿童会因为他们对学科的喜爱或者痛恨而在数学学科中表现得出色或令人绝望。激情孕育天才。因此，无论儿童对数学的态度是积极的还是消极的，父母和老师都负有一定的责任。

在《格列佛游记》（Gulliver’s Travel）中，乔纳森·斯威夫特（Jonathan Swift）这样描述了位于巴尔尼巴比岛（Balnibarbi Island）上的拉格多（Lagado）数学学校中所使用的奇特的教学方法：

我在一所数学学校，那里的教师使用一种对欧洲人来说完全无法想象的方式来教导学生。所有命题和论证都用着色药剂制成的墨水清楚地写在一块薄饼干上。学生要空腹吞下这块饼干，且在接下来的3天中除了面包和水不能吃其他任何东西。等到饼干消化以后，墨水就会带着命题一起印刻在脑中。但是到目前为止其效果还无法判断，一方面是因为含量和成分方面的问题，另一方面是因为儿童十分顽固，这个“大药片”对于他们来说实在是太恶心了，所以他们总是偷偷溜到一边，在“药片”起作用之前就把它吐出来，他们也不会像“处方”上要求的那样长时间不吃其他东西。

虽然斯威夫特的描述非常荒诞，但是把数学学习比作同化作用（assimilation）过程这个基本隐喻确实是合理的。归根结底，所有的数学知识都会被纳入大脑的生理组织中。儿童所修读的任何一门数学课程都以数百万突触的变化为基础，这意味着广泛的基因表达和数十亿个神经递质和受体分子的形成，通过化学信号的调制来反映儿童对这个话题的关注程度和情感参与程度。人脑中的神经网络并不是十分灵活的，特定的结构使得某些数学概念比起其他的概念更容易被“消化”。

我希望我在这里表述的观点最终能够引领数学教学的改进。一门好的课程应当考虑学习者大脑结构的优势与劣势。为了优化儿童的学习过程，我们应当思考教育和大脑发育会对心理表征的组织带来什么影响。显然，我们还远未了解学习能够在何种程度上改变我们的大脑机制。尽管现有的知识极少，但仍然有些用处。20年来，认知科学家们积累的关于大脑如何加工数学问题的结论至今还没有成为公众的共识，也没有渗透到教育领中。如果这本书能够作为一种催化剂，促进认知科学和教育学之间的交流，我将会十分高兴。

这本书将以生物学家的视角带领读者领略算术的世界，同时也不会忽视算术的文化组成。在第1章和第2章中，我会首先带领大家了解动物和人类婴儿的算术能力，继而让读者相信，人类所拥有的数学能力早已出现在其他动物身上。在第3章我们会发现，其他动物用来加工数字的许多方式在人类成年人的行为中仍留有痕迹。在第4章和第5章中，通过观察儿童学习计数和计算的方式，我们尝试去了解人类如何克服原始的近似系统的局限，以及学习高等数学给灵长类动物的大脑带来了怎样的挑战。这将为研究现有的数学教学方法，以及验证它们在何种程度上适应人的心理结构提供一个很好的契机。在第6章中，我们将寻找能够将普通人和计算奇才或年轻的爱因斯坦似的天才区分开来的特质。在第7章和第8章中，我将会带领大家了解大脑皮层的沟回，负责计算的那些神经元回路就存在于这些沟回中，它们会因为损伤或脑血管疾病而失能，从而使人丧失基本的数感。第9章总结了书中的这些实验数据在哪些方面影响了我们对于人脑和数学的理解。第10章则介绍了自第一版出版以来，快速发展的数学认知研究领域那些令人兴奋的新发现。至此，我们的数学探秘之旅宣告结束。

一块石头，两座房子，三处废墟，四个掘墓人，一座花园，一些花朵，一只浣熊。

——雅克·普雷韦尔（Jacques Prévert），《清单》（Inventaire）

01　会算术的“天才”动物

从18世纪开始，有关自然历史的一些书中就流传着这样一则故事：

一只乌鸦将它的巢筑在一座塔上，而这座塔坐落在一个贵族的领地上，于是这个贵族就想将这只乌鸦射下来。但是每当贵族接近那座塔时，那只乌鸦就会飞到射程之外，一旦这个贵族离开，它又会重新回到自己的巢穴。贵族请他的邻居帮忙，两个猎手一起进入那座塔，之后他们中的一个离开了。但是乌鸦并没有掉入这个陷阱，而是一直等到第二个人离开才返回自己的巢穴。后来，贵族又请来3个人、4个人、5个人帮忙，这些计谋都没有蒙蔽这只聪明的鸟儿。每一次，这只乌鸦总能等到所有的人都离开才飞回巢穴。最后，6个猎手一起进入了那座塔，当他们中的第五个离开时，乌鸦自信地飞了回来，毕竟它不是那么擅长计数，最终它被第六个猎手射落。

这个故事真实可信吗？没有人知道。我们也不清楚这是否和数字能力有关：据我们所知，鸟类能够记住的是每个猎人的相貌，而不是猎人的数量。但是，我引用这个故事是因为它很好地说明了动物的算术能力，而这正是本章要讨论的主题。首先，在许多严格控制的实验中，鸟类和其他动物物种不需要经过特殊的训练就能表现出感知数量的能力。其次，这种感知并不是非常精确，随着数字的增大，这些参与实验的动物的感知准确率会下降，这就是为什么故事中的那只乌鸦混淆了5和6。最后，也是最滑稽的，这则故事告诉我们，达尔文提出的自然选择的理论也同样适用于算术领域。如果那只乌鸦可以数到6，那么它可能就不会被射中了！在许多物种中，估计捕食者的数量和凶残程度，量化和比较两种食物源的收益，这都是生死攸关的大事。这样的进化观点能够帮助我们理解一些科学实验，它们能够揭示动物进行数字计算时的复杂过程。

一匹名叫汉斯的马

在20世纪初，一匹名叫汉斯（Hans）的马登上德国报纸的头条。它的主人威廉·冯·奥斯滕（Wilhelm Von Osten）可不是一名普通的马戏团驯兽师，受到达尔文观点的影响，他热衷于证明动物的智力水平。他用十多年的时间教他的马学习算术、阅读和音乐。虽然训练的效果过了很久才体现出来，但是最终却大大超出了他的预期。这匹马似乎拥有极高的智力，它可以解决算术问题，甚至可以拼出单词！

冯·奥斯滕常常会在自家院子里向众人展示聪明的汉斯的能力。人们在汉斯的前面围成一个半圆，并向驯马师提出一个算术问题，比如：“5加3等于多少？”冯·奥斯滕会在汉斯面前的一张桌子上摆上5件物品，在另一张桌子上摆上3件物品。在仔细审“题”之后，汉斯就会以蹄子敲击地面的方式来回答问题，敲击的次数与两数相加的和相同。然而，汉斯的数学能力远不止在这种简单的技艺上所表现的。对一些由观众口头提出或用数字符号写在黑板上的算术问题，汉斯仍能够轻松地解决（见图1-1）。汉斯还能解决两个分数相加的问题。比如“2/5+1/2”，它会先敲击9下，再敲击10下，给出9/10的答案。据说，即便是“28的约数有哪些”这样的问题，汉斯也能够给出非常准确的答案：2、4、7、14和28。显然，汉斯对数字知识的了解已经远远胜过了那些聪明的小学生！

聪明的汉斯和它的主人站在一排令人印象深刻的算术问题前。较大的黑板上显示的是马用来拼写单词时使用的数字代码。

图1-1　聪明的汉斯

资料来源：版权所有Bildarchiv Preussicher Kulturbesitz。

1904年9月，一个专家委员会对汉斯的技艺进行了深入彻底的调查，著名的德国心理学家卡尔·斯图姆夫（Carl Stumpf）也是委员会成员之一。他们最终得出结论：汉斯的技艺是真实的，并不存在欺骗性。然而，这个笼统的结论并没有使斯图姆夫的学生奥斯卡·芬格斯特（Oskar Pfungst）感到满意。在冯·奥斯滕的帮助下——这位主人确信他的天才马具有极高的智力，芬格斯特开始对汉斯的能力进行系统的研究。芬格斯特的实验，即便拿现在的标准来看，也是严密和富有创造力的典范。他的研究假设是：汉斯对数学根本一无所知，因此，一定是主人自己，或是人群中知道答案的某人，在汉斯敲击到正确数字的时候给了它隐蔽的信号，从而使它停止敲击。

为了证明这个假设，芬格斯特设计了一个方法，将汉斯对问题的认识与主人对问题的认识区分开来。他将之前的程序进行了微小的调整：主人可以看到用很大的印刷体写在题板上的简单加法算式，之后题板会转向汉斯，使得它能够看见问题并解答。然而，在实验中，有时芬格斯特在向汉斯展示问题之前会暗中调换加法算式，比如，主人看到的是“6+2”，而实际上汉斯要尝试解决的问题是“6+3”。

在经过一些后续的细节控制之后，这项实验的结果非常明确。每当主人知道正确答案时，汉斯就能得出正确答案，而当主人不知道正确答案时，汉斯则会给出错误答案。另外，汉斯所给出的错误答案通常就是主人所期待的数字。显然，是冯·奥斯滕自己，而不是汉斯，得出了不同算术问题的答案。但是汉斯究竟是怎样知道要在何时停止敲击的呢？芬格斯特最终推断，汉斯真正惊人的能力在于它能够捕捉到主人头部和眉毛的微小动作，而这些动作通常表明停止敲击的时机。事实上，芬格斯特一直确信这位驯兽师是诚实的。他相信那些信号的发出完全是无意识的，而并非故意所为。即便冯·奥斯滕不在场，马也能继续给出正确的答案：显然，当敲击到正确的数字时，汉斯能够感受到观众的情绪中增长的紧张感。即便发现了汉斯能够利用哪些身体线索，芬格斯特也不能阻断人们与它进行无意识交流的所有方式。

芬格斯特的实验对“动物智力”的论证提出了严重质疑，同时也对那些像斯图姆夫一样自称专家却盲目认同这一论点的人的能力提出了质疑。确实，今天的心理学课堂中仍在讲授“聪明的汉斯现象”，它仍然象征着实验者的预期和干预可能对心理实验结果产生的不良影响，不论这种预期和干预多么微乎其微，不论实验对象是人还是动物。从历史层面来看，汉斯的故事在塑造心理学家和动物行为研究者的批判性思维方面起了重要的作用，它让人们注意到严谨的实验设计的必要性。一个很难被注意到的刺激，比如眨眼，都可以影响动物的表现。因此，一个设计良好的实验必须避免一切可能的失误源。这一教训尤其被行为主义者很好地接受了。比如斯金纳（Skinner），他做了大量的工作，致力于发展动物行为研究的严谨实验范式。

然而，汉斯这个典型案例也对心理科学的发展产生了很多负面的影响。它使得人们对整个动物数字表征的研究领域充满质疑。具有讽刺意味的是，每当有人证明动物的数字能力时，科学家们就会挑起眉毛，就好像在给汉斯提供解题线索似的。人们总会有意无意地将此类实验与汉斯的故事联系起来，它们即便不被认定为是伪造的，也会被质疑设计存在缺陷。这其实是一种不合理的偏见。芬格斯特的实验只是证明了汉斯具有数字能力是一种巧合，并没有证明动物不可能理解算术的某些方面。在很长一段时间内，科学家们只是系统地寻找一些实验偏差来解释动物行为，而完全不去考虑“动物拥有初始阶段的计算知识”这一假设。当时，即便是最有说服力的结果也不能说服任何人。一些研究者甚至倾向于认为动物有一种神秘的能力，例如“节奏辨别”的能力，而不愿意承认动物可以对客体集合进行计算。简言之，科学界往往在倒洗澡水的时候，将婴儿也一起倒掉了。

在引入一些最终得到所有人（除了那些最多疑的研究者）信服的实验之前，我想以一则现代故事来结束汉斯的故事。即便是在今天，对马戏团动物的训练用的也是与汉斯那时一样的把戏。如果你曾经在一场表演中看到动物将数字相加、能拼写单词，或是做类似的令人惊奇的事情，你完全可以确定，这些行为就像汉斯的行为一样，依靠的是驯兽师和动物之间的隐蔽交流。我要再次强调，这种交流并不一定是有意的。驯马师通常是由衷地对他的“学生”的天赋确信无疑。几年前，我在一份瑞士本土的报纸上看到一篇有趣的文章。一位记者拜访了吉勒（Gilles）和卡罗琳（Caroline），他们饲养的一只名为普佩特（Poupette）的贵妇犬似乎在数学上表现出超凡的天赋。图1-2中是普佩特自豪的主人，他正将一系列写在纸上需要相加的数字展示给他那位忠实而聪明的伙伴。普佩特用爪子拍打主人的手，用拍打的次数表示确切的数字。当拍到正确的次数时，它会舔主人的手，在此过程中它没有出现一次错误。据它的主人说，这只天才的贵妇犬只接受了很简短的训练就有了这种能力，这使他相信了轮回或类似的超自然现象。然而，这位记者敏锐地发现，当拍到正确数字时，这只狗能够从主人的眼皮或是手部的微小动作中获得提示。所以这确实是一种轮回：聪明汉斯的策略进行了一次轮回，在一个世纪之后，普佩特对其进行了一次惊人的重现。

普佩特，现代狗家族中的“聪明的汉斯”，据称这只狗能做加法运算。

图1-2　能做加法的狗

老鼠“会计师”

在汉斯事件之后，一些著名的美国实验室开始对动物的数学能力展开研究。这类项目大多失败了，然而，德国著名动物行为学家奥托·克勒（Otto Koehler）的研究却取得了一些成就。在他训练的乌鸦中，有一只名为雅各布（Jacob）的学会了在一些容器中选出钻有5个孔的那个盖子。因为在不同的实验轮次中，5个点的大小、形状和位置是随机改变的，所以这种表现只能被解释为“此乌鸦对数字5有精确的认知”。但是，克勒团队的这项成果影响甚微，一方面是因为其大部分的研究结果只是在德国发表，另一方面是因为克勒的同事认为，他并没有排除所有可能的失误源，如实验者间的无意识交流或嗅觉线索。

在20世纪五六十年代，美国哥伦比亚大学的动物心理学家弗朗西斯·梅希纳（Francis Mechner）与艾奥瓦大学的约翰·普拉特（John Platt）和大卫·约翰逊（David Johnson）一起，采用了一种令人信服的实验范式，我在这里粗略地介绍一下。实验者将一只被暂时剥夺了食物的老鼠安置在封闭的盒子中，盒子里有A和B两根操作杆。操作杆B与一个机械设备相连，这个设备可以给出少量的食物。然而，这个奖赏系统并不是即时的。老鼠需要重复地按压操作杆A，只有按压到n次时，它才能在按下操作杆B时得到食物。如果这只老鼠过早地按压操作杆B，它不仅不会得到任何食物，而且还会受到惩罚。在不同的实验中，光线可能会消失几秒，或者计数器会被重置，此时老鼠必须从头开始对操作杆A进行n次按压。

在这个不同寻常的实验中，老鼠的表现怎样呢？起初，通过反复尝试，它们发现，当按压了几次操作杆A后再按压操作杆B，食物就会出现。逐渐地，它们对按压次数的估计越来越精确。最后，在训练结束时，老鼠对实验者选择的数字n都有非常合理的认识。那些需要先按压4次操作杆A才能得到食物的老鼠确实按了大约4次。那些需要按压8次的老鼠，也一定会按压大约8次，依此类推（见图1-3）。即便要求的按压次数是像12和16这样的大数字，聪明的老鼠“会计师”也能够按压到正确的次数！

在梅希纳的实验中，老鼠在学习按压操作杆B之前，需先按压操作杆A达到事先规定的次数。尽管随着数字变大，估计值的变化范围也会扩大，但老鼠的按压次数与实验者规定的数字大致相当。

图1-3　老鼠“会计师”

资料来源：经作者和出版商许可，改编自Mechner, 1958；版权所有

1958 by the Society for the Experimental Analysis of Behavior。

其中有两个细节值得一提。第一，老鼠按压操作杆A的次数会略高于所要求的最低值——5次而不是4次。但是，这是一个极其理性的策略。它们过早地按压操作杆B会受到惩罚，所以为了安全起见，它们宁愿多按1次操作杆A，也不敢少按1次。第二，即便是在受到大量的训练之后，老鼠的行为仍旧不怎么精准。最理想的策略是精确地按压4次操作杆A，然而老鼠通常会按4次、5次或者6次，在一些实验中，它们甚至会按压3次或者7次。它们的行为绝对不是“数字化”（digital）的，而且在每一个实验轮次中都会有变化。事实上，其变化范围会随着老鼠所估计的目标数字的增大而扩大。当目标按压次数是4时，老鼠的按压次数在3次到7次之间；而当目标次数是16时，老鼠的按压次数就会在12次到24次之间变化，跨度很大。看来，老鼠的估计机制相当不精准，与我们的数字计算器完全不同。

到了这个阶段，许多人可能会怀疑我是否过早地认定老鼠拥有计数能力，以及我们是否真的找不到对老鼠行为的更为简单的解释。首先我要申明的是，“聪明的汉斯”效应不会对这类实验产生影响，因为老鼠被单独安置在笼中，而且所有的实验过程都由自动化的机械设备所控制。那么，老鼠是真的对操作杆的按压次数敏感，还是它们估计了从实验开始到停止按压的时间，或是利用了其他与数量无关的参量？如果老鼠以特定的频率按压，比如每秒1次，那么上述行为可能要用对时间的估计来解释，而不能用对次数的估计来解释。当按压操作杆A时，老鼠可能会依不同情况等上4秒、8秒、12秒或16秒再去按操作杆B。比起“老鼠可以数出自己的动作次数”这一假说，这样的解释显得更为简单，尽管估计持续时间与估计数字实际上是同样复杂的操作。

为了驳斥这种有关时间估计的解释，梅希纳和洛朗斯·格夫雷基安（Laurence Guevrekian）采取了非常简单的控制方法：他们让老鼠的食物被剥夺程度产生差异。当老鼠真的很饿时，它们急于尽快得到食物奖励，所以会更快地按压操作杆。然而，这种频率的增加对它们按压操作杆的次数没有任何影响。被训练按压4次的老鼠，其压杆表现仍在3次到7次的范围内，而要求按压8次的，仍然会按压8次左右，对其他数字也同样如此。按压数的平均值和结果的离散程度都没有随着按压频率的增加而改变。显然，是数字参数而非时间参数促成了老鼠的行为。

美国布朗大学的拉塞尔·丘奇（Russell Church）和沃伦·梅克（Warren Meck）进行的一项较新的实验表明，老鼠自发地对事件的次数和持续时间给予同等程度的关注。在丘奇和梅克的实验中，实验者通过一个放置在鼠笼中的扬声器播放一串声音。一共有2个声音序列，序列A由2个组成，一共持续2秒；序列B由8个音组成，持续8秒。老鼠需要辨别这两段声音。每放完一段声音，两根操作杆会被插入笼子中。为了得到食物奖励，老鼠在听到序列A时，必须按下左边的操作杆，而听到序列B时，必须按下右边的操作杆（见图1-4）。

梅克和丘奇训练老鼠在听到由2个音组成的短声音序列时按压左边的操作杆，在听到由8个音组成的长声音序列时按压右边的操作杆。在之后的实验中，老鼠也会自动地泛化训练的结果：当声音数一定时，它们能够区分持续2秒的序列和持续8秒的序列（a）；而当持续时间一定时，它们能够区分由2个音组成的序列和由8个音组成的序列（b）。在两种条件下，4似乎都是2和8的“主观中点”，在这种情况下，老鼠无法决定应该按压哪边的操作杆。

图1-4　老鼠对事件次数和持续时间的关注度相同

资料来源：改编自Meck & Church, 1983。

几个初步实验表明，处于这种环境下的老鼠很快就学会了按压正确的操作杆。显然，它们可以利用两个截然不同的参数来辨别A和B：序列的总持续时间（2秒和8秒），或是音数（2个和8个）。那么，老鼠关注的是持续时间、音数，还是两个都关注？为了寻找答案，实验者设计了一些测试声音序列，其中一些声音序列的持续时间固定而音数不同，而另外一些则是音数相同但持续时间不同。在第一种类型中，所有的序列都持续4秒，每个序列由2至8个音组成。在第二种类型中，所有的序列都由4个音组成，每个序列持续时间为2至8秒不等。在所有这些测试中，不论按压哪根操作杆，老鼠都能够得到食物奖励。研究者的目的是想了解，在排除了奖励的影响之后，这些新刺激对老鼠来说意味着什么。因此，这个实验测试的是老鼠将先前习得的行为泛化至新环境的能力。

结果一目了然。在持续时间和数量方面，老鼠都能很容易地将习得行为进行泛化，以应对新的情况。当持续时间固定时，它们仍会在听到2个音时按压左边的操作杆，在听到8个音时按压右边的操作杆。反过来，当音数固定时，它们会在听到持续时间为2秒的声音序列时按压左边的操作杆，听到持续时间为8秒的声音序列时按压右边的操作杆。那么对于2到8之间的其他数，老鼠的表现如何呢？老鼠似乎会把呈现的刺激关联到最接近的已习得的刺激量。因此，在听到一个全新的、由3个音组成的序列时，老鼠会做出与听到2个音时一样的反应，当序列由5个或6个音组成时，其反应会与听到8个音时相同。奇怪的是，当序列由4个音组成时，老鼠无法决定应当按压哪根操作杆。对于老鼠来说，4就是数字2和8之间的主观中点（subjective midpoint）！

需要注意的是，在训练过程中，老鼠并不知道它们会在后续的实验中进行持续时间不同还是音数不同的测试。因此，这个实验表明，当一只老鼠听到一段旋律时，其大脑会自发地同时处理持续时间和音数。如果你认为这个实验运用了条件反射的原理，是实验者或多或少教会了老鼠怎样计数，那就大错特错了。实际上，实验中的老鼠拥有最高级的视觉、听觉、触觉和数字知觉的硬件条件。条件反射只是教动物将它一直拥有的知觉能力（比如对刺激持续时间、颜色或是次数的表征），与新的动作（比如按压操作杆）联系起来。数字并不是外部世界中的一个复杂参数，它不比其他所谓客观参数或物理参数（比如颜色、空间位置或持续时间）更抽象。事实上，既然动物已经具备了相应的脑模块，那么计算一个集合中客体的近似数目理应与感知其颜色和方位一样简单。

我们现在知道，老鼠和其他许多物种一样，都会自发地关注各种数量信息：动作、声音、闪光、食物的数量。例如，有研究者已经证明，当试验者让浣熊在一些装有葡萄的透明箱子之间进行选择时，它能学会只选取装有3颗葡萄的箱子，而忽略装有2颗或4颗葡萄的箱子。同样，在迷津任务中，无论通道间的距离有多远，老鼠都能够通过条件反射训练，选取左侧第4条通道。其他的研究者教会了鸟在一组连通的笼子中选出它们发现的第5颗种子。另外，在一些情况下，鸽子能够估计自己啄击目标的次数，比如，它们能够辨别45次啄击和50次啄击之间的差异。最后再举一个例子。一些动物，包括老鼠，能够记得在特定环境中受到奖励和惩罚的次数。美国普渡大学的卡帕尔迪（Capaldi）和丹尼尔·米勒（Daniel Miller）的一个精妙实验表明，当老鼠获得两种不同的食物奖励时，比如葡萄干和谷物，它们同时记住了三则信息：它们吃的葡萄干数和谷物数，以及总的食物种类。总的来说，算术能力在动物世界相当普遍，根本算不上特殊能力。它在帮助动物生存方面的优势是显而易见的。一旦老鼠记住了它的藏身之处是左侧第4条通道，那它在迷津一般的黑暗巢穴中就会移动得更快；松鼠在发现了长着3颗坚果的树枝时，会放弃长着2颗坚果的树枝，这样它就更有可能安全过冬。

动物的计算有多抽象

对于老鼠来说，按压2次操作杆、听到2个声音、吃2粒种子，能否让它们意识到这些事件都是数量“2”的实例呢？或者它们能否发现来源于不同知觉通道的数字之间的联系呢？在不同知觉通道和动作形式之间对数量进行概括的能力是数量概念（number concept）的重要组成部分。举一个极端的例子，我们假设一个儿童在看到4件物品时能够稳定地说出数词“4”，但在听到4个声音或跳了4下时可能会随机地在数词“3”“4”和“9”之间选择一个。虽然这个儿童在面对视觉刺激时有出色的表现，但是我们仍然不能认为这个儿童有“4”的概念，因为掌握这个概念就意味着能够将其运用到各种不同的通道情境中。事实上，一旦儿童掌握了一个数量，他们立刻就能够用它计算玩具车的数量，数出小猫叫了几声，或者能用它计算弟弟干了几件坏事。对于老鼠来说，情况又是怎样的呢？它们的数学能力是局限于某种知觉通道，还是抽象的？

鉴于对动物多通道知觉泛化的研究成功的很少，所有答案都只是尝试性的解释。不过，丘奇和梅克已经证明，老鼠对数量进行表征时，是将其看作一个抽象参数的，而不是局限于听觉或者视觉等某一特定的知觉通道。他们再一次将老鼠放入一个有两个操作杆的笼子中，但是这次同时使用了视觉和听觉刺激序列。由于此前的学习，老鼠会条件反射地在听到2个音时按压左边的操作杆，听到4个音时按压右边的操作杆。这次，它们又被训练在看到2次闪光时按压左侧操作杆，看到4次闪光时按压右侧操作杆。实验的关键在于，这两种学习经历在老鼠的脑中是怎样编码的。它们会将这两种经历作为两项不相干的知识储存在脑中吗？或者，老鼠学会了抽象的规则，比如“2是左，4是右”？为了寻找答案，两位研究者在一些实验轮次中将声音和闪光混合起来同时展现给老鼠。他们惊奇地发现，当他们同时呈现1个音和1次闪光，总共2个事件时，老鼠会立刻按下左侧的操作杆，而当他们呈现2个音和2次闪光所组成的总共4个事件时，老鼠会按压右侧的操作杆。动物们可以将它们的知识类推到全新的情境中。它们对数量“2”和“4”的概念并不仅仅体现在低层次的视知觉和听知觉中。

在同时使用2个音与2次闪光的实验中，老鼠的特殊表现十分值得注意。要知道，在训练过程中，老鼠通常是在听到2个音或看到2次闪光后按压左侧操作杆从而得到奖励的。因此，听觉刺激“2个音”和视觉刺激“2次闪光”都与按压左侧操作杆相关。然而，当这两种刺激同时呈现时，老鼠却按下了与数量“4”相联系的操作杆！为了让大家更好地理解这个发现的重要性，我们可以把它与另一个实验相比较。在这个实验中，老鼠被训练为看到正方形（另一种刺激为圆形）时按压左侧操作杆，看到红色（另一种刺激为绿色）时也按压左侧操作杆。那么当老鼠看到1个红色的正方形，即两种刺激结合起来时，我敢打赌，它们一定会更加坚决地按压左侧的操作杆。为什么在面对声音和闪光组合的刺激与形状和颜色组合的刺激时，它们的表现不一样呢？这个实验说明，在某种程度上，老鼠“知道”，数与数相加和形状与颜色相加的方式并不相同。1个正方形加上红色就成了1个红色的正方形，但是2个音加上2次闪光却不能引发对“2”这个数更强的感受。确切地说，老鼠的脑似乎可以领会蕴含在“2+2=4”中的算术基本法则。

动物具有抽象的加法能力的最好例证或许来自美国宾夕法尼亚大学的盖伊·伍德拉夫（Guy Woodruff）和戴维·普雷马克（David Premack）所做的研究。他们证明了黑猩猩能够进行简单的分数运算。在他们的第一个实验中，黑猩猩的任务十分简单：只要在2件物品中选出与给定物品外观相同的那一个，黑猩猩就能得到奖励。例如，实验者向黑猩猩展示一个盛有1/2杯蓝色液体的玻璃杯，黑猩猩就必须从2件物品中选出与此相同的物品。也就是说，盛有1/2杯液体的玻璃杯是正确的选择，因为另一个玻璃杯中的液体占了3/4杯。黑猩猩很快就掌握了这个简单的外观匹配任务。接着，决策变得越来越抽象：实验者仍然向黑猩猩展示一个盛有1/2杯液体的玻璃杯，但选项变成了1/2个苹果和3/4个苹果。从外观上看，两个选项均与样例相去甚远，然而黑猩猩仍能够选择1/2个苹果，显然是1/2杯液体和1/2个苹果在概念上的相似性使它做出了这个决定。对分数1/4、1/2、3/4的测试都同样取得了成功：这只黑猩猩知道一整个馅饼的1/4与一整杯牛奶的1/4具有相同的意义。

在最后的实验中，伍德拉夫和普雷马克证明了黑猩猩甚至能够对2个分数的加法进行心算：当样例由1/4个苹果和1/2杯液体组成时，面对一整个圆盘和3/4个圆盘，它们中的大部分选择了后者，这比完全随机所预期的概率要高很多。显然它们对两个分数进行了心算，与分数的加法运算“1/4+1/2=3/4”没有什么不同。据推测，它们并没有像我们一样使用复杂的符号计算法，但是它们显然直觉般知道这些比例该怎样相加。

最后说一则关于伍德拉夫和普雷马克研究的轶事。起初，他们研究手稿的标题是“黑猩猩的原始数学概念：比例和数量”（Primitive mathematical concepts in the chimpanzee: proportionality and numerosity），一个编辑错误导致了它在科学期刊《自然》上的标题变成了“灵长类动物的数学概念”（Primative mathematical concepts）！虽然这属于无心之失，但是这个改动并不是完全错误的。事实上，用“原始”（primitive）一词来描述这种能力是不恰当的。如果primative在这里指的是“灵长类动物所特有的”（specific to primates），那么这个新词用在这里就显得十分恰当，因为这种对分数进行相加的抽象能力至今还没有在其他物种中发现过。

另外，加法并不是动物在数字运算方面的全部本领，比较两个数量的多少是更为基础的能力，而且这种能力确实在动物中普遍存在。实验者向黑猩猩展示两个放着几小块巧克力的托盘，第一个托盘上有两堆巧克力，其中一堆有4块，另一堆有3块。第二个托盘上也有两堆巧克力，一堆有5块，还有1块巧克力被单独放置。实验者会给黑猩猩足够长的时间来仔细观察这个情境，然后让它们选择一个托盘并吃掉托盘上的东西。你认为黑猩猩会选择哪个托盘呢？大多数情况下，没有经过训练的黑猩猩会选择放置巧克力总数更多的那个托盘（见图1-5）。贪心的灵长类动物必须自发地计算第一个托盘上巧克力的总数（4+3=7）和第二个托盘上巧克力的总数（5+1=6），最后得出7大于6的结论，从而认为选择第一个托盘有更大的优势。如果黑猩猩不会做加法，而是满足于选出单堆巧克力块数最多的托盘，那么情况就不应该是这样，因为第二个托盘上由5块巧克力组成的那堆比第一个托盘上的任意一堆都多，尽管第一个托盘上巧克力的总数更大。显然，将两数相加和之后进行比较的操作都是其做出成功选择所必需的。

黑猩猩会自发地在两个托盘中选择放置巧克力总数更多的那个托盘，表现出与生俱来的对数量进行相加和粗略比较的能力。

图1-5　黑猩猩的选择

资料来源：重印自Rumbaugh et al., 1987。

虽然黑猩猩在从两个数量中选择较多数量时有非常好的表现，但它们仍会出错。这类错误向我们提供了非常重要的线索，使我们能够了解它们所采用的心理表征的本质。若两个数量有显著不同，比如2和6，黑猩猩几乎不会出错，它们通常会选择数量多的。但当两个数量越来越接近时，它们的表现会越来越差。当两个数量只相差一个单位时，只有70%的黑猩猩做出了正确的选择。这种错误率和两个数量差距之间的稳定依存关系被称为距离效应（distance effect）。它通常伴随大小效应（magnitude effect）产生。当数量差距相同时，数量越多表现就越差。黑猩猩在得出“2>1”的判断时没有任何困难，即便这两个数量只相差一个单位。但是，当它们比较2和3、3和4等较多的数量时出错率就会提升，数量越多，错误率越高。除了黑猩猩外，相似的距离效应和大小效应在许多任务和许多物种中均被发现，包括鸽子、老鼠，以及海豚。没有一种动物能够逃离这些行为法则——包括人类。

为什么距离效应和大小效应的存在具有重要的意义？因为它们再一次证明了动物不能对数量进行数值性或离散性的表征。只有开始的几个数字——1、2和3，能够被准确地识别。数量一旦变多，判断就会变得模糊。数量内在表征的变异性与表征数量的大小成正比。这就是为什么当数量变多时，动物就很难区分数量n和相邻数量n+1。但是，我们不能由此认为，老鼠或者鸽子的脑不能处理数值大的数量。事实上，当数量间距足够大时，动物仍能够成功地辨别和比较数值很大的两个数量，比如45和50。动物对大数表征的不精确性使它们无法识别49和50在算术上的区别。

虽然受到内部不精确性的限制，但是我们仍然可以通过许多例子证明动物的确拥有实用的数学工具。它们能够将两个数量相加，并自发选出两者中较大的那一个。我们有必要对动物的这种能力感到惊讶吗？试想一下，这些实验还会有其他结果吗？当一只饥饿的狗面对一整盘和半盘同款食物进行选择时，它们难道不会自然地选择数量更多的那盘吗？它若不选一整盘食物，结果可能是灾难性的，这种行为并不合理。恐怕对于所有生物来说，选择两份食物中较多的那一份都是生存的先决条件之一。在进化过程中，动物形成了收集、储存和捕获食物的复杂策略，因此，许多物种拥有“比较两个数量的多少”这种简单能力也不应当令人感到惊讶。心理比较的算法很可能在更早以前就出现了，甚至很可能在进化过程中被彻底改造了许多次。毕竟，即便是最原始的有机生命体也必须永无止境地寻找最适宜的环境：最多的食物，最少的捕食者，最多的异性配偶，等等。生命体为了生存，必须不断地做出最优的选择，而为了选择最优，就必须学会比较。

我们还需要了解进行此类计算和比较的神经机制。鸟、老鼠和灵长类动物的脑中存在微型计算器吗？它们是怎么运作的？

蓄水池隐喻

老鼠是如何知道“2+2=4”的呢？鸽子又是如何比较45次和50次啄击的呢？根据我的经验，这些从动物身上得出的结论经常会引发怀疑、嘲笑甚至愤怒，尤其当听众是数学教授时！在西方社会，从欧几里得和毕达哥拉斯时期开始，数学就被视为人类成就的顶峰。我们将其视作一种至高的技能，需要通过不懈的教育才能获得，或者需要具有一种与生俱来的天赋。在许多哲学家看来，人类的数学能力由语言能力衍生而来，所以，认为没有语言功能的动物能够计数是匪夷所思的，更不用说它们能对数量进行计算。

在这一背景下，我之前讲述的关于动物行为的观察都极有可能被单纯地看作意料之外、离经叛道的科学结论。没有理论框架的支持，这些研究结果会被孤立起来，虽然它们不同寻常，但毕竟不是定论，因而仍不足以质疑“数学＝语言”的想法。简单地说，为了打破这种现象，我们需要一个能够明确解释“为什么没有语言也可以计数”的理论。

幸运的是，这样的理论是存在的。事实上，我们熟知的一些机械设备与老鼠的表现极其相似。例如，所有汽车都配备有计数装置，用以记录从车辆首次上路开始累计的里程。这种计数装置最简单的形式就是一个齿轮，每增加一公里就向前滚动一个槽位。原则上，这个例子解释了一个简单的机械设备是如何记录累计数量的。那么，为什么生物系统就不能使用相似的计数原则呢？

汽车计数器（car counter）的例子并不完美，因为它使用的数量符号系统极有可能是人类独有的。为了解释动物的算术能力，我们应该寻找一个更为简单的比喻。想象鲁滨孙被困在孤岛上，孤独又无助。为了便于讨论，我们假设一次头部的重击使他丧失了语言能力，以致他不能运用数词来进行计数或计算。那么，在现有条件下，鲁滨孙该怎样找到替代品来构筑一个近似的“计算器”呢？实际上，这比想象的要简单。假设鲁滨孙在附近发现了一口泉，他用一根大圆木建成一个蓄水池，并把它放置在泉水旁。水不直接流到蓄水池中，而是由一根竹管导入其中。在这个以蓄水池为核心的基础设备的帮助下，鲁滨孙将能够进行计数、加法运算和近似数值大小的比较。这个蓄水池使他能够像老鼠或鸽子一样大体上掌握算术技能。

假如一艘载着食人者的独木舟正在向鲁滨孙的孤岛上驶来，当鲁滨孙用望远镜看到这一切时，他该如何利用他的“计算器”来记录食人者的人数呢？首先，他必须将蓄水池清空。其次，每当一个食人者登陆，鲁滨孙便将一些泉水引到蓄水池里。在此过程中，每一次引水的持续时间是固定的，并且水流量始终保持稳定。这样就可以保证每一个食人者登陆时，流入蓄水池中的水量基本是固定的。最后，蓄水池的总水位等于单次引水的水位的n倍。此时，最终的水位就可以作为登陆的食人者总数量n的近似表征，因为水位仅取决于所记录事件的次数。其他参数，比如事件的持续时间、事件的间隔等，对水位都没有影响。因此，蓄水池最后的水位就等同于登陆食人者的数量。

通过标记蓄水池的水位，鲁滨孙就能够记录有多少食人者上了岸，他在之后的计算中可能会用到这个数量。比如第二天，第二批食人者来了。为了估计食人者的总人数，鲁滨孙要先往蓄水池中注水，使水位达到前一天的标记处，然后每当一个新来的人上岸，他就会像之前那样往蓄水池中引入固定量的水。在完成这项操作之后，蓄水池中的水位达到了新的高度，这个高度代表了来到岛上的两批食人者的总数。通过在蓄水池中刻上不同的标记，鲁滨孙可以把这些计算结果永久地记录下来。

第三天，一些食人者离开了这座岛。为了估算他们的数量，鲁滨孙清空了蓄水池，重复上述程序，每离开一个人他就加一些水。他意识到代表离开人数的水位线远低于前一天的标记。通过比较两次的水位，鲁滨孙得出了一个让他烦恼的结论：已经离开的食人者的人数极有可能少于前两天上岸的食人者的总人数。总之，鲁滨孙用他简陋的设备完成了计数、简单加法运算和比较计算的结果，这个过程正如前述实验中的动物所做的那样。

这样的累加器存在一个明显的不足：尽管数量是离散的，但它们却是由连续量——水的高度来进行表征的。鉴于所有物理系统固有的可变性，在不同的时间，相同的数量可能由蓄水池中不同的水量来表示。例如，我们假设水流量不是固定的，而是在每秒4～6升之间变化，平均每秒5升。如果鲁滨孙引了0.2秒的水，那么被引入的水量平均为1升，然而实际水量会在0.8升和1.2升之间变化。因此，如果他对5个个体进行了计数，那么最后水量会在4到6升之间，鉴于对4个或6个个体计数也可以达到同样的水位，所以鲁滨孙的计算器不能够准确地辨别4、5、6这3个数量。如果6个食人者登陆，然后其中5人离开了，鲁滨孙可能会因为漏算了其中一人而面临危险。这正是我在本章开头所描述的故事中乌鸦所面临的情况！鲁滨孙能够更好地分辨差距较大的数量，这就是距离效应。这个效应会随着数量的增大而越来越显著，即大小效应，它同样是动物行为的特征。

可能有人会认为我所描述的鲁滨孙并不十分聪明。为什么他不使用石子，而是使用不精确的水面高度来计数呢？每数一个物品就向碗里放一颗石子，可以帮助他离散而精确地表征数量。运用这种方法，即便面对复杂的减法也能够避免错误。但是鲁滨孙的工具在这里是用来模拟动物的脑的，至少老鼠和鸽子的神经系统不能使用离散的标记来计数。神经系统在本质上就是不精确的，也不能够精确地记录已经数过的每项个体。因此，面对越来越大的数量，误差也越来越大。

虽然这里以一种非正式的方式描述了蓄水池模型（accumulator model），但它实际上是一个非常严密的数学模型，它所表达的数量大小和数量距离之间的函数关系能够精确预测动物行为的差异。因此，蓄水池的比喻有助于我们了解，为什么老鼠在每个实验轮次中会有不一样的表现。即便是在经过大量的训练以后，一只老鼠也无法精准地按压4次操作杆，但是它能够在不同实验轮次中按压4次、5次或6次。我认为，这是因为老鼠从根本上就不能像人类一样，用一种离散的方式来分别表征数量。对于一只老鼠来说，数量就是一个近似的大小，随时在变化，如同声音的持续时间一样转瞬即逝，也像色彩饱和度一样隐晦难懂。即便同一个需要识别的声音序列被播放两次，老鼠也不能够知觉到确切的声音数，而只是在脑内的“蓄水池”中形成上下波动的水位。

当然，蓄水池只是一个生动的比喻，它仅展现了一个简单的物理设备如何详尽地模仿动物算术。老鼠和鸽子的脑中没有水龙头和容器，那么我们是不是可以认为，脑中的神经系统可能拥有与蓄水池模型中的元件相似的功能？这个问题仍然没有定论。目前，科学家们才刚刚开始了解各种药物对某些参数的影响。比如，向老鼠体内注射某种有迷幻作用的物质似乎会加快内部计数。被注射了这种物质的老鼠在听到4个声音组成的序列时，会做出听到5个或者6个声音时的反应，似乎往“蓄水池”中注水的速度因为这种物质而加快。每数一个个体，引入蓄水池的水量都要比之前的量多，从而导致最终水位变高。这就是为什么输入4会得到输入6时的反应。然而我们仍不了解这种物质导致的加速效应所作用的脑区，相应的脑回路更是个谜。

数量探测神经元

尽管我们并不了解负责数量加工的脑回路，但是对神经网络的模拟却可以被用来推测可能的脑回路组织形式。神经网络模型（neural network models）是一种能够在传统的数字计算机上运行的算法，可用于模拟真实脑回路中可能的运算方式。当然，与真实神经元网络的极度复杂性相比，这种模拟通常已经将其大大简化了。在大多数计算机模型中，每一个神经元被简化为一个数位单元，其活动的输出水平在0和1之间变化。兴奋单元通过不同权重的联结方式激发或抑制临近以及更远的单元，这正是真实神经元间突触联结的模拟物。在每一步中，每个模拟单元都把来自其他单元的输入信息累加起来，而该单元是否被激活则取决于累加的总数是否超出阈限值。这种对真实神经细胞的模拟是粗略的，但是其核心属性被保留了下来：许多简单的数学运算需要多个回路中的神经元同时参与其中。大多数神经生物学家认为，“大规模的并行加工”这一属性是脑能够在短时间内运用相对缓慢和不可靠的生物硬件进行复杂运算的关键。

神经元并行加工（parallel neuronal processing）的方式可以被用于加工数量吗？在巴黎巴斯德研究所的神经生物学家让-皮埃尔·尚热的帮助下，我提出了一个实验性的模拟神经网络模型，是有关动物如何从环境中快速和并行地提取数量的。我们的模型提出了老鼠和鸽子都可以解决的简单问题：当视网膜接收到不同大小的输入、耳蜗接收到不同频率的声调时，模拟神经网络能否计算出视觉和听觉客体的总数？根据蓄水池模型，每接收一次输入之后向内在累加器添加固定的量，就可以计算出这个数量。困难之处在于，要利用模拟神经网络来完成这个任务，并要得到一个与视觉对象的大小、位置无关，与听觉对象的持续时间无关的数量表征。

我们设计了一个可以把视觉输入的大小进行标准化的回路来解决这个问题。这个网络会探测到对象投射在视网膜上的位置，并为该位置上的每个对象分配数量大致相等的活跃的神经元，而不考虑对象的大小和形状。这个标准化的步骤十分重要，因为它使网络能将每一个对象记为“1”，而不论其大小。就像我们会在后文中看到的那样，对哺乳动物而言，这样的运算很可能是由后顶叶皮层的回路来完成的，它主要负责对物品位置进行表征，而不考虑物品的确切形状和大小。

我们也对听觉刺激做了相似的处理。不考虑接受刺激的时间间隔，听觉输入在一个记忆存储器中进行累加。一旦完成了大小、形状和呈现时间的标准化，估计数量就变得简单了——只需估计标准化的视觉地图上和听觉存储器中总的神经元活动即可。这个总数等同于蓄水池中水的最终高度，它提供了一个合理可靠的估计数值。这个模型的求和操作是由一组单元负责的，这些单元集合了所有潜在的视觉和听觉单元的激活。在特定情况下，这些输出单元只有在接收到的总激活值落入特定范围时才会放电，这个范围因神经元而异。因此，每个模拟神经元就如同一个数量探测器（numerosity detector），只有在看到近似某个数量的对象时才会做出反应（见图1-6）。例如，网络中的一个单元在呈现4个对象时优先做出反应——4个视觉物块，4个声音，或者2个视觉物块加2个声音。这个单元极少对呈现3个或5个对象的情境做出反应，在其他情况下则更不会有反应。所以这个神经元就如同一个针对数量4的抽象探测器。此类探测器可以完整地覆盖整条数轴，每一个探测器对应某一个近似值，而当数量逐渐增大时，对应的精确性就会下降。由于模拟神经元同时处理所有的视觉和听觉输入，数量探测器阵列的反应速度很快——它们能够并行加工整个视网膜上的所有信息，并估算4个物品的集合数量，而不用像计数那样一个一个地数。

“数量探测器”对某一特定数量的输入次数优先做出反应（a）。每条曲线代表各个单元对不同数量项目的反应。值得注意的是，随着输入数量的增加，反应的选择性下降。在20世纪60年代，汤普森及同事对猫进行麻醉，随后在其联合皮层上记录到类似的“数量编码”神经元（b）。图中展示的神经元优先对6个连续事件做出反应，不论是间隔1秒的6次闪光，还是间隔4秒的6个声音。

图1-6　一个包含“数量探测器”的电脑模拟神经网络

资料来源：上图改编自Dehaene & Changeux, 1993；下图改编自Thompson et al., 1970。版权所有1970 by American Association for the Advancement of Science。

令人惊叹的是，科学家在动物脑内不止一次地发现了上述模型中提出的数量探测神经元。在20世纪60年代，美国加州大学欧文分校的神经科学家理查德·汤普森（Richard Thompson）在他的实验中向猫展示了一系列声音或闪光，并记录下猫的大脑皮层中单个神经元的活动。一些细胞只有在某一特定数量的事件发生时才会被激活。例如：一个神经元在任意6个事件发生后做出反应，不论是6次闪光、6个短音还是6个长音。感觉通道似乎并不重要——神经元显然只关注数量。不同于电子计算机，它并不以全或无的离散方式来反应，相反，它的激活水平在5个项目之后开始增长，在6个项目时达到顶峰，在更多项目出现时下降。这种反应属性与我们模型中的模拟神经元十分相似。在猫的脑皮层中的这一小块区域内还记录到许多类似的对不同数量做出反应的神经元。

因此，动物脑中可能存在一个特异性的脑区，其作用与鲁滨孙的蓄水池相同。汤普森的研究在1970年刊登在了著名的《科学》杂志上，遗憾的是，这个研究并没有得到后续的关注。我们仍然不知道动物脑中的数量探测神经元是否以我们在模型中所预期的方式联结，或者猫是否会通过其他方式来提取数量。毫无疑问，只有那些敢于运用现代神经元记录工具继续探索动物算术的神经元基础的神经生物学家，才能最终找到答案。

模糊的计数

如果累加器模型是正确的，那么无论神经元具体如何执行，我们都能得到以下两个结论：第一，动物能够计数，因为每当一个外部事件发生时，它们的内部计数器就会增加1个单位。第二，它们的计数方式与人类的不同。动物的数量表征是模糊的。

人类在计数时，会运用一系列精确的数量词，不让错误有机可乘。每计入1个项目就会相应地在数量序列中增加1。对老鼠来说可不是这样，它们的数量像是一个虚拟的蓄水池中不断变动的水位。不同于人类“+1”的严苛逻辑，当老鼠向变化的总数中增加1个单位时，这项操作只能使用模糊的近似值，更像往鲁滨孙的蓄水池中加入一桶水。老鼠的情况让人联想到《爱丽丝镜中奇遇记》中爱丽丝遇到的算术窘境：

“你会做加法吗？”白皇后问道，“1加1加1加1加1加1加1加1加1加1是多少？”

“我不知道，”爱丽丝回答，“我数不清了。”

“她不会做加法。”红桃皇后打断了她的话。

尽管爱丽丝可能没有足够的时间来口头数数，但是她应当能够在一个大致范围内估计出总数。与此类似，老鼠需要通过非词语或非数学符号的方式来进行近似计数。人类的口头计数与动物有很大不同，我们很可能根本不应该讨论动物的“数字”概念，因为“数字”一词通常指离散的抽象符号。这就是为什么当科学家讨论动物的数量知觉时，会用“numerosity”（数量）或“numerousness”（数量）这样的词而不是“number”（数字）。累加器使动物能够估计事件的大致数量，但不能够计算确切的数字。动物的思维只能记住模糊的数量。

难道人类真的无法教动物学会一种数字符号吗？我们能不能教它们认识一系列与人类的数字符号和数词类似的离散数字标记，然后让它们理解这些标记其实代表着确切数目呢？事实上，这类实验略有成效。在20世纪80年代，日本研究者松泽哲郎（Tetsuro Matsuzawa）教会一只名为Ai的黑猩猩运用随机安排的一些符号来表示物体集合（见图1-7）。每个用来代替单词的小图片占据电脑键盘上的一格。黑猩猩可以选择按任何一格来表示它看到的东西。经过长时间的训练，Ai学会了运用14种物品符号、11种颜色符号，以及对人类来说意义最为重大的前6个阿拉伯数字。比如，当屏幕上显示3支红色铅笔时，黑猩猩首先会按正方形中有黑色菱形的符号，这个符号表示“铅笔”，然后它会按下被水平线条贯穿的菱形（表示“红色”），最后它会按下手写体数字“3”。

日本的灵长类动物学家松泽哲郎教授他的黑猩猩Ai学习的词汇，图中展示了其中的一部分内容。Ai能够用这些词报告小集合物品的名称、颜色和数量。

图1-7　一套由视觉符号构成的词汇

资料来源：Matsuzawa, 1985;版权所有1985 by Macmillan Magazines Ltd。

这一系列行为很可能只是机械动作反射的复杂形式。然而，松泽哲郎证明，这些图案在某种程度上确实能够起到和文字一样的效果：将它们组合就可以描述新的情境。例如，如果黑猩猩学会了一个新的符号“牙刷”，它就可以部分地将其运用到新的情景中，比如“5支绿色的牙刷”或者“2支黄色的牙刷”。当然，这种泛化能力的表现仍存在频繁的错误。

从1985年松泽哲郎首次发表研究成果至今，他的黑猩猩Ai在计算方面不断取得进步。它现在学会了前9个阿拉伯数字，并且对集合计数能够达到95%的正确率。关于反应时的记录表明，和人类一样，Ai会对大于3或4的数字进行串行计数。它也学会了将数字根据大小排序，不过，这项新能力的形成花费了多年时间。

从松泽哲郎的早期实验开始，至少有3个灵长类动物训练中心成功地在一些黑猩猩身上重复了数字符号的学习。相似的能力也存在于与人类亲缘关系很远的物种中。经过训练的海豚能够将任意物品与精确数量的鱼相匹配。在大约2 000次实验后，它们能够在两个对象中选择代表更多鱼的那个对象。来自美国亚利桑那州大学的艾琳·佩珀贝格（Irene Pepperberg）教她的鹦鹉亚历克斯（Alex）学习大量英语单词，其中包括前几个数词。亚历克斯在实验中表现出色，实验中不需要使用标示牌和塑胶代币，实验者可以使用标准英语来陈述问题，而亚历克斯可以即刻说出可识别的单词来回答问题！实验者将一系列物品，如绿色的钥匙、红色的钥匙、绿色的玩具和红色的玩具，展示在亚历克斯面前时，它能够回答“有几把红色的钥匙”这种复杂的问题。当然，此前对它的训练也持续了很长时间——几乎有20年。这些实验的结果证明了数量标记并不是哺乳动物所独有的。

更新的研究发现，黑猩猩能够使用数字符号进行部分运算。比如，萨拉·博伊森（Sarah Boysen）教她的黑猩猩舍巴（Sheba）学习简单的加法和比较运算。舍巴必须先掌握0至9的阿拉伯数字与相应的数量之间的关联。此类实验需要极大的耐心。两年过后，舍巴逐渐能够接受越来越复杂的任务。在第一个阶段，它只需要在棋盘的6个格子中各放上1块饼干。在第二个阶段，实验者向它展示1至3块饼干，要求它在一些卡片中选择点数与棋盘上的饼干数相一致的一张。它由此学会了关注饼干和点的数目，并将点数与饼干数对应起来。在第三个阶段，带点的卡片逐渐被相对应的阿拉伯数字替代。舍巴进而学会了识别数字1、2和3，并且能够指出与饼干数对应的正确数字。最后，博伊森教舍巴学会了逆向操作：它必须从众多物品集合中选择一个数目与指定的阿拉伯数字相匹配的集合。

运用类似的策略，舍巴的知识逐渐扩展到从0到9的整个数字序列。在训练的最后阶段，舍巴已经可以灵活地将数字和对应的数量进行转换。这种能力被认为是符号认知的核心。符号代表着一种形状之外的隐藏含义，符号理解意指借助符号的形状来获取它的含义，而符号产出则需要根据想要表达的含义重现符号的形状。显然，在经历了漫长而刻苦的训练之后，黑猩猩舍巴掌握了这两种转换过程。 /span>

人类符号的一个重要特征是它们能够组合成句子，句子的意义源于组成它的词。比如，数字符号能被组合起来用于表示一个等式，如“2+2=4”。舍巴能不能结合多个数字进行符号运算呢？为了寻找答案，博伊森设计了一个符号加法任务。她将橙子藏在舍巴笼子中的不同地点，比如2个橙子藏在桌子下，3个橙子藏在盒子中。舍巴会在可能藏有橙子的地点搜寻，然后它会回到出发点，在几个阿拉伯数字中选择一个与找到的橙子总数相匹配的数字。从实验的第一轮次开始，舍巴就能成功完成任务。接下来是这个实验的符号版本。这一次，它在笼子中四处寻找时并没有发现橙子，而是找到了一些阿拉伯数字，比如桌子下有数字2，盒子中有数字4。同样，当搜寻结束后，它能够选出它所看到的数字的总和（2+4=6）。这个实验表明，黑猩猩能够识别每一个数字，并在心理层面将其与数量相关联，计算出所有数量相加的结果，最后提取出该结果所对应的视觉形式。没有哪种动物能够像黑猩猩一样拥有如此接近人类的符号计算能力。

即便是那些远不及黑猩猩聪明的物种，也能够学会运用数字符号进行初步的心算。比如，由美国佐治亚州立大学的戴维·沃什伯恩（David Washburn）和杜安·朗博（Duane Rumbaugh）训练的2只恒河猴，名为阿贝尔（Abel）和贝克（Baker），它们表现出一种能够对阿拉伯数字所代表的数量进行大小比较的非凡能力。测试人员在计算机屏幕上给出一对阿拉伯数字，比如“2”“4”，阿贝尔和贝克使用操纵杆来选择一个数字。之后一个自动分配器会给出相应数量的水果糖，这种水果糖是灵长类动物非常喜欢的食品。如果选择了数字“4”，它们就能够品尝4颗水果糖，而如果选择了数字“2”，它们就只能得到2颗水果糖，这使它们有很强的驱动力选择较大的数字。事实上，这个任务与前文中的比较任务十分相似，唯一的不同在于动物不是直接面对食物，而是将阿拉伯数字作为表示食物多少的符号表征。动物需要从记忆中提取出数字符号的意义，即它所代表的数量。

我必须指出，阿贝尔和贝克与舍巴不同，在测试开始前它们没有接受过任何关于阿拉伯数字的训练。这就是为什么它们需要通过上百个实验轮次才能学会稳定地选择较大的数字。舍巴已经知道数字和数量的对应关系，所以在初次实验时就能在类似的数字比较任务中做出正确的回答。经过训练，阿贝尔和贝克也同样表现出色。当数字间距离足够大时，它们根本不会犯错，但是当数字只相差一个单位时，它们会有30%的错误率。我们在这个实验中发现了大家现在所熟知的距离效应，这种效应反映了在数字十分接近时容易产生混淆的倾向。

除了两个数字的任务，阿贝尔和贝克在面对3个数字、4个数字甚至5个9以内的数字时也能够成功做出选择，显然这两只恒河猴不可能通过死记硬背记住所有的正确答案。甚至当测试者向它们展示全新的随机数字集时，比如“5、8、2、1”，它们也能以远高于随机的正确率选出较大的数字。

在讨论这个主题时，有一个现象值得一提，舍巴在被要求选择两个数字中较小的那个时，遇到了困难，出现了奇怪的表现。实验情境十分简单：舍巴和另一只黑猩猩共同面对两组食物，当舍巴指向其中一组食物时，实验者就会把这组食物给另一只黑猩猩，而舍巴则会拿到它并未选择的那组食物。在这个新情境中，指向数量较少的那组食物更符合舍巴的利益，因为这样做能让它得到更多食物。然而，舍巴没有一次能做出正确的选择。它仍继续指向数量较多的那组，就好像选择较多数量的食物是一种无法抑制的反应。随后，萨拉·博伊森用对应的阿拉伯数字替代食物实体。在第一轮实验中，舍巴立即选择了较小的数字！数字符号拯救了舍巴，让它可以不受实物的影响。数字符号使它摆脱了不可抑制地选择较多数量食物的冲动。

动物计算能力的局限

动物表