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底边与腰的比等于黄金比(即比值为)的等腰三角形叫做黄金三角形． (1) 底︰腰＝. (2) 黄金三角形的顶角为36°，底角为72°. 例 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD． (1) 通过计算，判断AD与AC?CD的大小关系； (2) ∠ABD的度数为________. 解析 (1) ∵AC＝1，AD＝， ∴CD＝1－=. 分别计算AD与AC?CD即可. (2) ①∵AB＝AC＝1，BC＝，∴△ABC是黄金三角形，顶角为36°. ②由(1)知：AD=AC?CD. ∵AD＝BC，∴BC=AC?CD ， 即BC︰AC＝CD︰BC. ∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB， ∴∠A＝∠1，BC︰BD＝AC︰AB＝1， ∴BC＝BD，∴∠3＝∠C. ∵AD＝BC，∴BD＝AD，∴∠A＝∠2. 设∠A＝α，则∠1＝α，∠2＝α，∴∠3＝∠C＝2α，∴α＋2α＋2α＝180°，α＝36°. 答案 (1) ∵AC＝1，AD＝， ∴CD＝1－=. ∴AD＝()＝， AC ?CD＝1×=， ∴AD＝AC?CD. (2) 36° 练习 1. 定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC＝BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D． (1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点； (2) 线段AD的长为__________． 2. 如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形． (1) 如图1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：＝． (2) 请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．(注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注) 1. 解析 (1) 运用相似法证明AD＝CD?AC(也可能是CD＝AD?AC)即可. (2) 由上知：AD=AB＝. 答案 (1) ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. ∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°， ∴∠A＝∠2＝∠1，∴AD＝BD，∠3＝72°. ∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB， ∴ CD︰CB＝CB︰CA， ∴ CB＝CD·CA，BC︰BD＝AC︰AB＝1， ∴BD＝BC，∴AD＝BC， ∴AD＝CD·CA，即点D是线段AC的黄金分割点. (2) 2. 解析 (1) 在AB＝2BC中，∵BC小，∴设BC＝a，然后分别用含a的代数式表示AB、AE即可. 此题是作线段黄金分割点的一个方法. (2) 如下图，依上题作出线段AB的黄金分割点D(AD为黄金线段，痕迹为红线部分)，然后分别以AB为腰、AD为底作出三角形(痕迹为蓝线部分). 答案 (1) 设BC＝a，则AB＝2a. ∵∠B＝90°，∴AC＝a， ∴AE＝AD＝a－a ＝(－1)a， ∴＝=. (2) 如图： △ABC就是所求作的三角形. |
