拉格朗日(Lagrange) 插值公式

\author{Qinghua Ke}

\date{2019,10,04}

设函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，且已知在点 a\leq x_0 <x_1<x_2<...<x_n\leq b 上的函数值 y_0, y_1,..., y_n , 求构造一个次数不超过 n 的插值多项式

L_n(x)=a_0+a_1 x+...+a_nx^n,

使 L_n(x_i)=y_i (i=0,1,2,...,n) 成立。

n=1

f(x) 在区间 [x_k,x_{k+1}] 端点处的函数值 f(x_k) 和 f(x_{k+1}) , 求构造一个线性插值多项式 L_1(x) 使得

L_1(x_k)=y_k=f(x_k)\\ L_1(x_{k+1})=y_{k+1}=f(x_{k+1})

成立。

由点斜式可以得到

\begin{aligned} L_1(x)&=y_k+\frac{y_{k+1}-y_k}{x_{k+1}-x_k}(x-x_k)\\ &=l_k(x)y_k+l_{k+1}(x)y_{k+1}, \end{aligned}

其中 l_k(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}, l_{k+1}(x)=\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k} . 这里 l_k(x) 和 l_{k+1}(x) 称作线性插值基函数。

n=2

已知 f(x) 在点 x_{k-1}, x_k , x_{k+1} 上的函数值 f(x_{k-1}), f(x_k), f(x_{k+1}) ,求构造一个二次插值多项式 L_2(x) , 使得

L_2(x_{k-1})=y_{k-1}=f(x_{k-1})\\ L_2(x_k)=y_k=f(x_k) \\ L_2(x_{k+1})=y_{k+1}=f(x_{k+1})

成立。

构造 L_2(x)=y_{k-1}l_{k-1}(x)+y_k l_k(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x) , 易得

l_{k-1}(x)=\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{(x_{k-1}-x_k)(x_{k-1}-x_{k+1})} \\ l_k(x)=\frac{(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})}{(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})} \\ l_{k+1}(x)=\frac{(x-x_{k-1})(x-x_k)}{(x_{k+1}-x_{k-1})(x_{k+1}-x_k)}.

一般情况

已知函数 f(x) 在 n+1 个插值节点 a\leq x_0 <x_1<x_2<...<x_n\leq b 上的函数值为 f(x_0), f(x_1),..., f(x_n) ，求构造一个次数不超过 n 的插值函数多项式 L_n(x) , 使

L_n(x_i)=y_i=f(x_i) (i=0,1,2,...,n)

成立。

L_n(x)=l_0(x)y_0+l_1(x)y_1+...+l_n(x)y_n

其中 l_i(x) (i=0,1,2,...,n) 为 n 次多项式，称作 n 次插值基函数，且满足

l_i(x_j)=\begin{cases} &1, \quad x_j=x_i \\ &0, \quad x_j\neq x_i \end{cases} \quad (i=0,1,2,...,n)

易得

\begin{aligned} l_i(x)&=\frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_n)}{(x_i-x_0)(x_i-x_1)...(x-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n)}\\ &=\prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}, \end{aligned}

于是

L_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i l_i(x)=\sum_{i=0}^n (\prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}) y_i.

插值余项

插值方法是在区间 [a,b] 上用 y=L_n(x) 近似 f(x), 在插值节点 x_i 上有 f(x_i)=L_n(x_i) , 而在 [a,b] 上其他点 x (x\neq x_i, i=0,1,...,n) 上就会有误差，令

R_n(x)=f(x)-L_n(x)

R_n(x) 称作插值多项式的余项，它代表用 L_n(x) 近似 f(x) 的截断误差的大小。易检验得， R_n(x_i)=0 .

于是令

R_n(x)=k(x)(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)=k(x)w_{n+1}(x)

记 M=\max_{a \leq x\leq b}|f^{(n+1)}(x)| , 则 R_n(x)\leq \frac{M}{(n+1)!}|w_{n+1}(x)| .

参考文献

《计算方法》华中科技大学数学系，张诚坚，何南忠，高等教育出版社