慎入！复杂的积分公式推导与应用，没有一定智商的人看不懂 ...

老黄学高数前面推导了一个幂函数乘以余弦函数的积分公式，老黄觉得这个公式很好用，所以准备继续对它进行拓展。公式的形式如下：

∫x^n*cosaxdx=∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1))*x^(n-i)sin(ax+iπ/2)+C, n∈N*, a≠0.

老黄提供文字版公式是因为担心图片显示不出来。

解析一下这个公式：它指的是，正整数幂函数与ax的余弦的积的不定积分，是一个求和公式与C的和。这个求和公式有n+1项，i从0到n，x的指数反之从n到0,正弦的角度每项递加π/2，系数是n!/((n-i)!*a^(i+1)). n是正整数，a不等于0.

老黄要利用它来推导下面三类不定积分。

求：(1)∫x^n*cos(ax+b)dx；(2)∫x^n*sinaxdx；(3)∫x^n*sin(ax+b)dx.

分析：它们都在上面的不定积分的基础上，做了局部变化，第一类是余弦的角度加常数b的不定积分；第二类把余弦改成正弦；第三类是正弦的角度加常数b的不定积分。

(1)事实上，积分变量在一次函数中，常数项b不改变不定积分的实质，结果和原来的不定积分公式几乎完全一致。如下：

解：(1)原积分=∑(i=0->)n!/((n-i)!*a^(i+1))*x^(n-i)*sin(ax+b+iπ/2)+C.

(2)第二类积分，我们只需利用三角诱导公式cos(ax+π/2)=sinxax，就可以把它化为原不定积分的形式。

(2)原积分=-∫x^n*cos(ax+π/2)dx=-∑(i=0->)n!/((n-i)!*a^(i+1))*x^(n-i)*sin(ax+π/2+iπ/2)+C

=-∑(i=0->)n!/((n-i)!*a^(i+1))x^(n-i)*cos(ax+iπ/2)+C. 【利用了另一个三角诱导公式sin(ax+π/2)=cosax，当然公式的形式并不唯一，可以化出其它不同的形式来】

(3)最后一类不定积分与(1)同理，与(2)没有本质的区别，b不改变不定积分实质

(3)原积分=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i+1))*x^(n-i)*cos(ax+b+iπ/2)+C.

这几个公式都相当复杂，不是真正喜欢高数的人，肯定看不下去了。但它们真的很有用，下面看应用：

例1：求∫x^4*cos(3x+π/6)dx.【第一类变式积分，n=4，a=3，直接代入公式】

解：原积分=∑(i=0->)4!/((4-i)!3^(i+1))*x^(4-i)*sin(3x+π/6+iπ/2)+C【其实这个形式就可以做答案】

=1/3*x^4*sin(3x+π/6)+4/9*x^3*cos(3x+π/6)-4/9*x^2*sin(3x+π/6)-8/27*xcos(3x+π/6)+8/81*sin(3x+π/6)+C.【这个形式可以检验结果是否正确，老黄已经检验过了】

例2：求∫x^4*sin2xdx. 【第二类变式积分，n=4，a=2，直接代入公式】

解：原积分=-∑(i=0->4)4!/((4-i)!2^(i+1))*x^(4-i)*cos(2x+iπ/2)+C

=-1/2*x^4*cos2x+x^3*sin2x+3/2*x^2*cos2x-3/2*xsin2x-3/4*cos2x+C.【注意结果的规律】

最后做一道练习：求∫x^3*(cos(x/3)-sin(x/3+π/4))dx.

解：∫x^3*cos(x/3)dx=∑(i=0->3)(3!·3^(i+1))/((3-i)!)*x^(3-i)*sin(x/3+iπ/2)+C1，

∫x^3*sin(x/3+π/4)dx=-∑(i=0->3)(3!·3^(i+1))/((3-i)!)x^(3-i)cos(x/3+π/4+iπ/2)+C2，

原积分=∑(i=0->3)(3!·3^(i+1))/((3-i)!)*x^(3-i)*(sin(x/3+iπ/2)+cos(x/3+π/4+iπ/2))+C.【如果你喜欢的话，也可以把各项都写出来，但这个形式就可以做答案了】

如果是两个三角函数的积的形式，也可以用这些公式求出来，希望你能喜欢这个系列的公式。