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———————————————所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称作同余问题。同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。 / 什么是同余问题呢？/ 1．同余的定义： 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为： 如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 2．同余的性质： （1）一个数一定同余被模除后的余数。 （2）如果a≡b(mod m),且a≥b,那么m|(a-b)。 （3）a≡a(modm)(反身性）。 （4）若a≡b(mod m)，那么b≡a(modm)(对称性）。 （5）a≡b(modm), b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)(传递性）。 例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)，所以 2≡17(mod 5)。 （6）a≡b(modm), c≡d(mod m)， 那么a±c≡b±d(mod m)(加减性）。 例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)， 所以 2+12≡12+17(mod 5) 14≡29(mod 5)。 （7）若 a≡b(mod m), c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性）。 例如：2≡12(mod 5)，12≡17(mod 5)， 所以 2×12≡12×17(mod 5) 24≡204(mod5) （8）若 a≡b(mod m),那么an≡bn(mod m)(可乘方性) 。 例如：2≡12(mod 5)， 所以 23≡123(mod 5) 即8≡1728(mod 5) （9）若ac≡bc(mod m),(c，m)=1互质,那么 a≡b(mod m)。 如：3×2≡5×2(mod 4)，但 3≡5(mod 4) 不成立。因为（2，4）≠1。
解题小口诀 差同减差， 和同加和， 余同取余， 最小公倍加 经典例题 例1、 求263×13136×914的积除以13的余数。 分析 如果直接把这个三个数相乘，再用结果去除以13，显然计算量会很大，不可取。根据同余的可乘性，我们可先分别求出三个因数除以模13的余数（一个数一定同余被模除后的余数），再用余数相乘的积去除以模13得到余数。 答案 解：263≡3(mod 13)，13136≡6(mod 13)，914≡4(mod 13) 根据同余的可乘性得:263×13136×914≡3×6×4 (mod 13) ，3×6×4≡7(mod 13) 263×13136×914的积除以13的余数为7. 例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 答案 解： 412－133＝279，412-257＝155，257－133＝124。 （279，155，124）＝31.三个数的最大公约数是31，所以a最大是31。 例3、 求14349除以7的余数. 分析 根据同余的可乘方性可解此题，因为49＝32+16+1，所以只要求出143的32次方、16次方和143除以7余数是几，然后根据同余的可乘性来求出最终14349除以7的余数是几。 答案 解： 143≡3(mod 7),1432≡32≡2 (mod 7) 1434≡22≡4 (mod 7),1438≡42≡2 (mod 7) 14316≡22≡4 (mod 7),14332≡42≡2 (mod 7) 49=32+16+1 14349=14332×14316×1431 14349≡14332×14316×1431≡2×4×3≡3 (mod 7)即余数为3. 专项练习 1．一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是多少? 2．310被一个两位数除，余数是37，这个两位数是多少? 3．71427和19的积被7除，余数是几? 4．有一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（且余数都不为0）．问这个整数是几? 5．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少? 6．31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少? 7．1991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和1，那么n最小是多少? 8．除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是几? 9．把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几? 10．求1919除以7的余数. 答 案 1．解 设被除数为a，商为 b，依题意得：a = 23b + 2，被除数扩大4倍得：4a=92b+8，8＜23，所以余数是8． 2．解 310-37=273=3×7×13．大于37的两位数有3×13=39，7×13=91，这样的两位数有两个：39、91． 3．解 71427÷7余6，19÷7余5，那么两数的积被7除的余数是两数余数积被7除的余数，即 71427×19≡6×5 (mod 7) 6×5≡2(mod 7) 71427×19的积除以7的余数为2. 4．解 根据同余，300-262=38和262-205=57都被这个数整除．这个数是(38，57)=19． 5．解 设某数为x，则x+2同时被3、5、7整除，所以x的最小值为3×5×7-2=103． 6．解 因为31453÷4=7863……1，68765÷4=17191……1，987657÷4=246914……1，1×1×1=1，所以31453×68765×987657的积除以4余数是1． 7. 解 1991-2=1989能被n整除，同理1769-1=1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2．因为(1989，1768)-13×17，所以n最小是13． 8. 解 因为除以3余1，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67÷7=9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…．所以，符合条件的最小三位数是172． 9. 解 把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1×9=9(个)数码，两位数写了2×90=180(个)数码，三位数写了(201-9-180)÷3=4(个)，即写到了99+4=103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103÷3=34……1，前102个自然数(3×34=102)的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以：103÷3=34……1，即这个201位数除以3余数是1． 10. 解
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