这个不定积分公式变化莫测，但很多人只知道它的递推形式 ...

余弦的整数幂，与正弦的整数幂的积的不定积分，是一个相当复杂的积分公式。而且它会有非常多的变化，说它变化莫测一点也不为过。很多人都只看到高数教材上的递推形式，并且认为，掌握了递推形式就足够了。如果这样想的话，数学是很难学好的。

老黄这篇文章先给大家介绍它的递推形式是怎么来的，再大概给大家介绍一下，它有哪些变化形式。以后有机会，再把各种变化形式的公式最终形态推导出来分享给大家。

将推导公式整理成高数证明题的形式如下：

若I(m,n)=∫(cosx)^m*(sinx)^ndx，则当m+n≠0时，证明：

I(m,n)=(cosx)^(m-1)*(sinx)^(n+1)/(m+n)+(m-1)/(m+n)*I(m-2,n)

=-(cosx)^(m+1)*(sinx)^(n-1)/(m+n)+(n-1)/(m+n)*I(m,n-2).

这里面其实是有两个公式的，先证明第一个公式。首先，我们可以利用cosx=cotx*sinx，把被积函数化为如下形式：

其中的(sinx)^(m+n-1)*cosxdx=1/(m+n)*d(sinx)^(m+n)，这完全是式子中的分母给的启发：

然后运用分部积分公式：

前面的分式就可以化成公式右侧的分式形式了，而后面的不定积分，把微分求出来：

最后的不定积分就是I(m-2,n)了。

再证第二个公式时，可以和上面同理，不过重复运算对老黄来说，太枯燥，所以老黄变个花样。先利用(cosx)^mdx=-1/(m+1)* d(cosx)^(m+1)：

然后运用分部积分法：(这个公式非常重要，一定要掌握)

再把后面的积分中微分部分求出来：

利用(cosx)^2=1-(sinx)^2，可化成下面的形式：

这是一个关于I(m,n)的方程，移项合并同类项得：

分母可以约掉，然后化系数为一，就得到：

这就完成了对递推公式的证明。按下来解一道简单例题：

例：求∫(cosx)^2(sinx)^4dx.

我们有两个公式可以选择：

选择第一个公式得到：

后面的积分运用正弦的正整数幂公式，可解决：

选择第二个公式得到：(对比一下结果的优劣)

很明显，用这种方法并不能直接得到结果。所以还需要对后面的不定积分再次运用公式，这里省略掉这一步，直接写出结果是：

我们可以看到，解决这类问题，至少有两种方法，四种情况。这两种方法是分别利用公式对cosx或sinx进行降幂处理，一直降到0次幂，就可以运用正弦或余弦的正整数幂公式来解决；如果降到1次幂，就可以进行凑微分，化成关于正弦或余弦的幂函数的不定积分去解决。如果你喜欢，也可以对它们交错进行降幂，有点赛车道上开波浪线快车的感觉。

这类问题的变化很多的，上面所说的只是一般方法，具体的问题，可能需要用到具体的方法，比如下面这道练习题：

练习：求∫(cosx)^4*(cotx)^2dx.

它看起来好像不属于这类问题，不过我们可以把它转化成这类问题：

可以看到，这里出现了负指数，怎么办？没有关系，递推公式没有规定不能是负整数，因此还是运用公式。这里选择第一个公式，连化两次，得到：

现在m+n=0，不符合公式了，怎么办？其实这时被积函数可以化为余切(有时也可能是正切)的正整数幂的形式：

余切的平方的不定积分公式并不难记，直接运用起来。就算次数高，老黄上一篇文章也有分享过正切或余切的正整数幂的积分公式，直接运用就可以了。

本文的所有结果都已经过老黄的检验，正确无误。那么你能自己推导出各种情况下的最终公式形式吗？