理解插值法（拉格朗日、牛顿插值法）

引言

我们首先理解下插值法主要用来做什么事：插值法就是利用已知的点建立合适的插值函数 f(x) ,未知点 x_i 由插值函数 f(x) 可以求出函数值 f(x_i) ，用求得的 (x_i,f(x_i)) 近似代替未知点。

对于平面上相异（无两点在一条直线上）的 n 个点，我们必定可以找到一个 n-1 次多项式 y=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_{n-1}x^{n-1} ，使这个多项式函数经过这些点。拉格朗日插值法和牛顿插值法所要做的就是求得这个多项式函数。只是求得多项式的方式有些不同，下面详细介绍。

拉格朗日插值法

1. 已知 n 个点的坐标 (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)....(x_n,y_n) ，求得一个 n-1 次多项式 过这些点。

2. 假设 n-1 次多项式为： y=a_0+a_1x+a_2x^2+...a_{n-1}x^{n-1}

3. 将n个点代入多项式得：

y_1=a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+...a_{n-1}x_{1}^{n-1}

y_2=a_0+a_1x_2+a_2x_2^2+...a_{n-1}x_{2}^{n-1}

.....

y_n=a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+...a_{n-1}x_{n}^{n-1}

4. 易解出拉格朗日插值多项式为：

L(x)=y_1\frac{(x-x_2)(x-x_3)...(x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)...(x_1-x_n)}+y_2\frac{(x-x_1)(x-x_3)...(x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)...(x_2-x_n)}...+y_{n}\frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})}{(x_{n}-x_1)(x_{n}-x_2)...(x_{n}-x_{n-1})}

5. 上式也可以写为：

L(x)=\sum_{i=1}^{n}y_i \prod_{j=1,j =\not i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}

拉格朗日插值公式在理论分析理解上很容易理解，但是若插值节点发生改变时，插值公式随之就要重新计算生成，在实际计算中会占用大量的计算量。e.g. 现在有n个节点生成的插值公式，这里第 n+1 个节点也要加入进去，若使用拉格朗日插值法，之前的n个节点生成的插值公式则要完全调整废弃，重新生成含 n+1 个节点插值公式，这样就带来很大的计算量。正常的想法是，当一个节点要加入，我们只需在原来的插值公式上稍加修改就可以得到新的插值公式，牛顿法的出现正是克服这个问题，当插值节点发生增加，新的插值公式基于原来的公式很容易就得到。

牛顿插值法

要理解牛顿插值法首先理解一些概念：

差商：

设函数 f(x) ，已知其 n 个插值节点为 (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)....(x_n,y_n) ，我们定义：

• 一阶差商

• 二阶差商

• n阶差商

其中 \bigwedge 是省略的意思￣□￣｜｜。

由以上定义我们的到 差商表 如下：

基于差商的牛顿插值公式：

根据差商的定义，我们可以得到下面公式：

我们可以从后往前不断地代入消去得到：

这时候上式有两部分组成， （不含未知x的）牛顿插值逼近函数 P(x) 、（含未知x的）误差函数 R(x) 也称为余项 把 R(x) 去掉，就得到牛顿插值公式：

拉格朗日、牛顿插值法小结

motivation： 将缺失的函数值对应的点 x 代入多项式得到缺失值的近似值 f(x) 。

牛顿插值法和拉格朗日插值法两者都是多项式插值法。从本质上说，两者给出的结果是一样的（相同的次数，相同的系数多项式），只不过表示的形式不同。牛顿插值法与拉格朗日插值法相比具有承袭性和易于变动的特点。

参考文章：理解插值法（拉格朗日、牛顿插值法）