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剖析数学 听说高考变革计划中的数学考试占有重要份额，由此联想到为什么"社会这样喜欢数学"这个教育问题。既然数学被民众"注重"到了如此地步，索性就让大家看看深邃数学王国中一些一线城市的风貌。只需大胆和坚持，保障会有点滴收获。 面对数学的峦峰，其实一切的数学人都是数学努力进程中的无量小量。对那些让我们崇拜与尊崇的巨大数学家们而言，当对比广博的数学同仁时，他们才是数学努力进程中的无量大量。要想成为数学的无量大量型人才，第一件事就是在心理上必须解除任何的“名人未解、自己无望”的达观研讨心理障碍，使得自身处于完整无约束的能量自由勃发状态，然后才可能真实地考证出自己的数学价值。非数学人士其实能够相似地翻开自己数学心扉和发掘数学潜能。在数学成才教育中，学生自身的潜能、兴味、才干、志向、毅力、勤奋与自信等微观元素的宏观合成是至关重要的数学教育成才技术。在数学教育心理学洗礼之后, 宽广数学喜好者非数学符号地进入现代中心剖析数学的海洋中畅游, 不失之为一条快速进步数学素养的捷径。 撰写本文的动力是教育成才理念的鼓舞，而非作者学识之因。泛函剖析，调和剖析，复剖析，随机剖析，偏微分方程和大范围剖析等中心剖析数学学科的学问宝库足以让代代数学人追求永远，因而个人之力就是个微重力而已。数学的雄峰虽难以撼动，但经过教育的望远镜却能够领略其几何的教育外貌，这或许正是本文的微小作为之处。 (一) 泛函剖析 泛函剖析是现代剖析数学的重要分支之一，其深远的理论体系和普遍的应用价值曾经对现代剖析数学，乃至现代科学技术范畴都产生了严重影响。大学本科阶段的泛函剖析课程主要以线性泛函剖析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。研讨生阶段的线性泛函剖析主要引见紧算子与Fredholm算子、Banach代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、Hilbert-Schmidt算子与迹类算子等内容。研讨生阶段的非线性泛函剖析课程普通扼要讲授Banach空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分措施等基本内容。泛函剖析的主要研讨方向为: 线性算子谱理论、函数空间、Banach空间几何学、算子代数、非交流几何、应用泛函剖析以及非线性泛函剖析的相关研讨方向等。 泛函剖析是经过数学剖析、高等代数和空间解析几何的“升空式洗礼”，而从“地上”到“天上”的一个数学笼统推行过程。有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学专业一二年级的主要学习内容。若只思索线性映射的运算性质，那就是线性代数。若思索非线性映射的连续性与润滑性，那就是微积分。若把有限维空间的距离概念推行到无限维空间，再思索相应的线性映射与非线性映射的连续性以及润滑性，那么就自但是然地走到了泛函剖析的疆界。数学剖析，高等代数和解析几何的很多结论在泛函剖析层面上都有相应的推行结论。留意到这一点之后，又能够从“天上”回到“地上”了。把有限维换成无限维，以及欧式度量换成笼统度量，想法还是一样的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与剖析的融合体的泛函剖析了。剖析、代数、几何与拓扑的数学思想措施的融合是泛函剖析展开壮大的力气之源。泛函剖析曾经成为现代剖析数学的必要工具之一。 Fields 奖取得者J. Bourgain，A.Connes，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf奖取得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名数学家在泛函剖析范畴都做出了庞大成就。 泛函剖析的参考书目引荐如下： （1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。 （2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。 （3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。 （4）张恭庆，林源渠，泛函剖析讲义，上册，1987。 （5）张恭庆，郭懋正，泛函剖析讲义，下册，1990。 （6）W. Rudin，Functional Analysis，1991。 （7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。 （8）P. Lax, Functional Analysis，2002。 （9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。 (二) 调和剖析 调和剖析是现代剖析数学的中心范畴之一，其辉煌的成就让一代代剖析学家为之倾倒与斗争。依照华罗庚先生的说法，把已知函数展开成Fourier级数的运算就叫做调和剖析。事实上，调和剖析也正是从Fourier级数和Fourier变换理论的研讨开端展开壮大的。从物理的观念，调和剖析就是要把信号表示为基本波“调和子”的超位置叠加。几个世纪以来，调和剖析曾经构成了庞大的学科体系，并在数学、信息处置和量子力学等范畴有着重要和深化的应用。 从应用角度来说，有效肯定Fourier级数问题的运算称为适用调和剖析。有限调和剖析是适用调和剖析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想措施来处置实践问题的Fourier措施是有限调和剖析的应用价值所在。再从物理的角度，人们能够发现量子力学中的测不准关系有着调和剖析版的解释，即 Paley – Wiener 定理所描画的非零紧支集广义函数的Fourier变换没有紧支集。 笼统调和剖析是调和剖析更深化的现代数学分支，即研讨拓扑群上的调和剖析理论，特别是Fourier变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和剖析特征在现代数学处置中的适合写照。对普通的非Abel部分紧群来说，调和剖析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的Fourier变换是Fourier变换的乘积的性质能够经过对紧群的Peter-Weyl 定理有所升华表示。当群既非Abel又非紧群时，普通的笼统调和剖析理论还不是很完善。例如，能否此时存在Plancherel定理的相似物还不知道。但是在许多特殊状况下，经过无量维表示技术是能够剖析一定的相关问题的。 下面主要对上的调和剖析内容中止扼要的描画，以便对调和剖析方向的研讨与学习有一点点方便。 掩盖技术、极大算子、Calderón–Zygmund合成、内插技术和奇特积分算子是现代调和剖析的基本内容。掩盖技术不只是测度论的重要工具，也是调和剖析的主要措施之一。Hardy–Littlewood 极大算子理论的树立与掩盖技术息息相关。上的H.- L极大算子理论主要表示了一类非线性算子的-有界性理论，并且能够处置很多现代剖析的重要问题。Calderón–Zygmund合成技术是研讨奇特积分的实变量剖析的关键措施，即把恣意的可积函数拆分红“小部分”和“大部分”的和，然后用不同的技术分别处置各个部分是其思想精髓所在。奇特积分算子是由带有奇特性的积分核所产生的。奇特积分算子的-有界性问题是重要的研讨问题之一。奇特积分算子的理论目前曾经很是丰厚了。 从Fourier级数和Fourier变换的经典Fourie剖析到Hardy–Littlewood 极大算子和奇特积分算子等理论，能够以为是调和剖析的一次飞跃。调和剖析的另外一次严重飞跃应该是-空间（Hardy空间）、有界平均振荡函数的BMO空间和-权理论的树立与完善。笔者以为：调和剖析的最后一次飞跃或许是调和剖析措施在剖析学科的世界级数学猜测的处置方面的有效理论问题。 Hardy空间的研讨来源于Fourier级数和单复变量剖析，至今曾经有丰厚的内涵，特别是高维实措施的介入，使得-空间理论有了实质性的现代展开。有界平均振荡函数的BMO空间，也称为John- Nirenberg空间，是在剖析巨匠F. John和L. Nirenberg初次研讨了该空间的拓扑性质的基础上而给出准肯定义的。-空间，BMO空间和-权理论是现代调和剖析的三大发明。C. Fefferman取得Fields奖的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基础上，发现了BMO空间是-空间的对偶空间。BMO空间在剖析数学的众多范畴和概率秧论中都有重要的应用。在BMO空间基础上，L. Nirenberg与H. Brezis协作，还发现了作为BMO空间的子空间的VMO空间（消逝平均振荡空间），特别是将拓扑度理论推行到属于VMO空间的映射结果使得拓扑学家为之惊叹。-权理论在奇特积分算子有界性研讨中有着重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 对-权理论的树立做出了重要贡献。 我国世界级数学家华罗庚先生在经典调和剖析范畴取得了世界抢先成果。他的名著《多复变函数论中典型域上的调和剖析》曾取得首届国度自然科学奖一等奖。北京大学的调和剖析学派为中国调和剖析方向的人才培育做出了庞大贡献。 取得过Wolf奖和 Fields奖的调和剖析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。 关于调和剖析的数学著作引荐如下： （1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。 （2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。 （3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。 (三) 复剖析 在代数与剖析学科中，复数域都是重要的基本数学沃土。复变函数的微积分理论就是经典复剖析的主要内容之一。在复数土壤上的微积分，除了继承传统，当然也一定会呈现新的天地，例如，Cauchy积分理论，Weierstrass 级数理论和复Riemann几何理论等就是复数域上的特有理论。在大学的复变函数论课程中，作为双射解析映射的共形映射理论应该是课程的亮点部分之一。解析映射的无量次可微性、非临界点处的部分保角性，以及十分值映射的开集映成开集的开映射性质等都是解析映射的实质性性质。解析映射的实部与虚部所对应的Cauchy-Riemann方程更是深化推行解析映射理论的偏微分方程动身点。大学本科的复变函数内容曾经在除了数学之外的工程技术、电子工程和航天工程等范畴产生了重要应用。 复剖析能够分红单个复变量函数论，多个复变量函数论，以及复流形上的剖析理论等三个重要部分。自从19世纪左右单复变产生以来，单个复变量函数论的理论曾经十分完善。随之展开的多个复变量函数论理论曾经成为现代主流剖析数学范畴之一。研讨生阶段的单复变复剖析内容主要包含Riemann映射定理、共形映射的边疆对应定理、单值性定理、广义Schwarz引理、共形不变量（共形模与极值长度）、拟共形映射、Riemann曲面、Riemann-Roch定理、单值化定理以及复变函数迫近论等重要内容。鉴于单复变理论的日臻完善，该范畴的研讨趋向正在向复动力系统方向纵深展开。研讨生阶段的多复变课程主要是在经典多复变与现代多复变两个方面加以引见。前者是单复变理论的高维复空间推行理论：高维复空间中的代数域及其上的多复变函数论，然后者是复流形上的相应函数论理论。多复变课程难度更大，因而学生队伍普通较小。多复变函数论作为单复变函数论的推行理论，也同样面对继承与发扬的基天性问题。多复变有别于单复变的两个基本定理是“不存在双全纯映射将高维复空间中的单位超球映为同一空间中的多圆柱体”的Poincaré定理，以及“高维复空间中存在如此的区域使得在此区域上的全纯函数一定能够全纯延拓到更大的区域之上”的Hartoge定理。Poincaré定理表明在维数大于或等于2时单复变的Riemann映射定理不再成立。Hartoge定理产生了高维复空间中函数论研讨的适合区域判别问题。复流形上的函数论、上同调、微分方式、Cauvhy积分以及Dolbeault 和de Rham的基本定理等内容是现代多复变的中心内容之一。 我国数学家在单复变与多复变范畴都取得了世界先进水平的研讨成果。例如，我国熊庆来学派的数学家在单复变亚纯函数的值散布论范畴做出了世界级的研讨成果。华罗庚学派的数学家在多复变函数论中典型域上的调和剖析、典型域、典型流形、积分表示与边值问题、Schwarz引理、拟凸域等诸多方向都取得了世界抢先成果。 Fields 奖与Wolf奖取得者中的著名数学家L. V. Ahlfors，L. Carleon，H. Cartan，Kodaira Kunihiko，J. P. Serre，C. L. Siege，S. K. Smirnov等都在复剖析范畴取得了出色成就。 关于复剖析的入门数学著作引荐如下： （1） W. Rudin, Real and Complex Analysis,1966。 （2） H. Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976。 （3） L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979。 （4） 龚 昇, 简明复剖析，1996。 （5） 李 忠，复剖析导引，2004。 (四) 随机剖析 随机剖析是概率论剖析数学深化展开的现代数学分支。在随机过程理论基石的基础上，渗透拓扑、代数、几何、剖析等中心数学的思想措施，融合于实践与应用问题的背景之下，随机剖析已然成为当今世界主流数学分支俱乐部的重要成员。我国数学家的随机剖析水平曾经步入世界先中止列，在国际数学家大会上曾经应邀做一小时讲演和四十五分钟讲演。我国的随机数学研讨队伍也以中国科学院和一些著名大学的随机数学学派着名于世界。 随机数学的两个基本细胞应该是测度论与随机性。随机性是自然界中普遍存在的客观现象，测度论是剖析数学的重要数学结构。用数学模型的观念看世界是数学家博大贡献胸怀的基本写照，如随机数学的应用内涵所在一样。仅从数学角度看随机数学，那么真的不用非要提及随机二字，只需研讨测度论的展开就能够了。全有限测度空间上的微积分理论，或者剖析理论，其实就是随机剖析学者的日常工作。当然，以两种不同的观念来看待测度论意义下的可测函数族，在思想措施上会对两种不同的研讨展开带来实质的区别。例如，把可测函数族视为随机变量族的随机过程的轨道空间思想，对随机数学的展开是至关重要的。 常微分方程模型描写的润滑向量场轨道与随机（常）微分方程模型描写的随机次润滑轨道对实践问题的接近度常常是后者更佳。于是，随机微分和随机积分的概念就是最为关键的学科创建要素了。Wolf奖取得者K. Ito对布朗运动定义的随机积分概念，以及随之发现的Ito积分公式，使得随机剖析成为剖析数学文库中的美丽诗篇。布朗运动样本轨道函数的连续，但简直处处非有界变差和处处不可微的性质使得通常的Riemann-Stieltjes积分和Lebesgue- Stieltjes积分按样本轨道函数无法定义，由于Riemann-Stieltjes积分定义中的Darboux和不以概率1收敛。但是，前述Darboux和能够在均方意义下收敛。也正是这一点激起了Ito积分的创建灵感和确立了Ito积分的独立位置。留意到随机过程的样本轨道的不润滑特性，后继的很多随机数学分支，如随机微分几何等都由此得到了数学的独立位置。本科阶段的随机剖析课程多数是以随机微分方程课程的方式呈现的，并且主要讲授Brown运动和白噪声的基天性质，随机积分与Ito公式，随机微分方程的可解性等基本内容。对不同类型的随机过程能够在恰当意义下定义相应的随机积分的事实也常常加以简述。研讨生阶段的随机剖析课程是能够“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”的。倒向随机微分方程，狄氏型理论，大倾向理论，无量维随机剖析，拟似然剖析，自由概率论，随机偏微分方程，随机动力系统，随机微分几何等等都是研讨生随机剖析课程的有益食材。当然，这一阶段的随机剖析曾经步入综合中心数学的家园，曾经不是只了解与控制测度论就行那样简单的事情了。数学的真正魅力所在，其实就是大一统的数学价值观，随机剖析的深邃境地也不例外。 关于随机剖析的数学著作引荐如下： （1）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1,1975。 （2）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.2,1976。 （3）I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 1991。 （4）P. Malliavin, Stochastic Analysis, 1997。 （5）黄志远，随机剖析学基础（第二版），科学出版社，2001。 (五) 偏微分方程： 偏微分方程能够望文生义天文解为含有未知函数及其若干偏导数的数量关系式。未知函数就是人类对神秘未知的自然界现象的目的数学模型函数。导数就是目的函数随着时间变更的变更快慢水平。偏导数就是自然界中影响要素的多元化而招致的对其中的部分要素的变更率描写。从因果关系动身，偏微分方程能够被以为是自然界一切因果现象的数学模型，于是乎其数学之外的应用价值的庞大水平是不可思议的。 偏微分方程在数学王国内的位置也是富贵有加的。美国麻州的Clay数学研讨所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件惊动媒体的大事：对以下七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美圆寻求解答：NP完整问题、霍奇猜测、庞加莱猜测、黎曼假定、杨- 米尔斯理论、Navier –Stokes 方程、BSD猜测。这七个世界级的数学难题中，至少有两个半问题是与偏微分方程有关的。此外，中国科学院数学物理学部的一切院士中，至少有四分之三的院士熟习偏微分方程，而且一切数学院士中有近一半院士的数学研讨工作与偏微分方程有关。偏微分方程的吸收力之所以如此之大，其中一个主要的缘由就是偏微分方程的理论价值与应用价值皆为“无量大”。假如把整个数学比方为宇宙，地球被比方为数学外的应用范畴和数学内的剖析数学，地球外（包含大气层）的宇宙部分被比方为中心数学，那么偏微分方程就是能够自由往复于地球和外部空间的“空天航天器”。千年数学难题中的庞加莱猜测最近曾经被处置，而这一看似与偏微分方程学问无关的拓扑问题却被借用偏微分方程的理论和思想措施所处置。从硬剖析到软剖析，再到现代剖析，以至是其它中心数学范畴，偏微分方程的身影简直处处存在。 我国数学家的偏微分方程研讨水平曾经抵达世界级水平，以中国科学院和一些著名大学的偏微分方程学派为主的科研成果早已在世界一流数学杂志上频频呈现，并且中国偏微分方程团队与世界级的众多国际偏微分方程团队的学术交流与影响曾经处于互利双赢的境地。 偏微分方程能够分为线性与非线性的，也能够分为一阶方程，二阶方程和高阶方程，或者椭圆型、抛物型、双曲型等等。每一种情形都有庞大的理论体系和研讨成果。与常微分方程不同，绝大多数的偏微分方程不能求出通解或解的解析表白式，以至是线性方程也能够没有解。同时物理与工程技术的问题也需求把方程与定解条件（初值条件、边疆条件等）来一同思索。所以，定解问题是偏微分方程的主要研讨对象，当然极少数的非线性偏微分方程也还是有精确解的表白式的。 大学本科阶段的偏微分方程课程主要讲授线性的一阶方程和二阶方程，特别是相应方程定解问题的适定性：解的存在性、独一性与稳定性，其中存在性部分多数限于细致的解法。研讨生阶段的偏微分方程课程主要研讨解的定性理论和不同意义下解的适定性问题。首选的讲授内容就是广义函数、Sobolev空间、泛函剖析高级课程和偏微分方程的现代措施。偏微分方程范畴有四大法宝：微局部剖析理论、先验估量技术、调和剖析措施与弱收敛措施。微局部剖析理论来源于普通线性偏微分方程的研讨，善用诸如广义函数的波前集，拟微分算子，Fourier积分算子，仿微分算子、超函数等一些现代剖析数学工具。在非线性偏微分方程的最新研讨中，也曾经发现了微局部剖析的应用。先验估量是假定解存在的前提下所树立的解的有效信息估量，其主要在处置解的存在性问题时至关重要，特别是对非线性偏微分方程的研讨愈加弥足可贵。最为有名的先验估量当属二阶椭圆型与抛物型方程的Schauder估量、-估量，De Georgi-Nash估量，与Krylov-Safanov估量等。关于普通的非线性偏微分方程而言，对解自身及其各阶导数的可能范数模估量是十分实质性的可解性要素。调和剖析措施与弱收敛措施在一些著名偏微分方程的研讨中曾经显现了勃勃生机。 Fields 奖与Wolf奖取得者中的著名数学家J. Bourgain，De Giorgi，L.V. H?rmander，P. D. Lax，J. Leray，H. Lewy，P. L. Lions，T. Tao，C. Villani等对偏微分方程的研讨都做出了出色贡献。 关于偏微分方程的数学著作引荐如下： (1) A. Friedman, Partial Differential Equations, 1969。 (2) J. Smoller, Shock Waves and Reaction –Diffusion Equations, 1983。 (3) L.C.Evans, Weak Convergence Methods for Nonlinear Partial Differential Equations, 1990。 (4) M. Taylor, Partial Differential Equations, Vol. 1-3, 1996。 (5) L.C. Evans, Partial Differential Equations, 1998。 (6) 苗长兴、张 波，偏微分方程的调和剖析措施，2008。 (六) 大范围剖析 数学剖析、高等代数与空间解析几何被视为现代数学基础的“第一高”，而泛函剖析、普通拓扑和笼统代数被以为是“第二高”。现代数学基础的“第三高”就是微分流形。作为现代中心数学大家园之一的大范围剖析学（也称为流形上的剖析）就是在这“第三高”的基础上，融合拓扑、代数与几何的思想措施而构成的高级剖析数学范畴。 微分流形是一个具有“微积分结构”的Hausdorff 拓扑空间，其包含了“第一高”中通常的规范曲线、曲面和区域等几何对象为特殊例子。微分流形就是为了微积分而生的说法并不外火。在微分流形的舞台上，能够思索拓扑问题（微分拓扑），几何问题（微分几何）和剖析问题（大范围剖析），并自由与充沛地运用代数、几何、拓扑和剖析的措施与理论来研讨相应的深化数学问题。假定武术“奇妙同构”于数学，并且武术的“第一高”，“第二高” 和“第三高”分别是“地上的腾、挪、跳、跃”，“ 梅花桩上的腾、挪、跳、跃”和“空中的腾、挪、跳、跃”，那么微分流形上的现代数学理论就相当于武术的“第三高”。由此能够看出，大范围剖析学在现代中心数学中的基本重要性了。 大范围剖析学课程主要讲授流形与流形间的映射、流形的嵌入与浸入性质、临界值与横截性、Sard定理、切丛与向量丛、流形上的微积分、流形上的微分算子、无量维流形、Morse理论及应用、Lie群、动力系统、奇点理论与几何剖析等重要内容。应该阐明的一点就是代数拓扑学问对学习大范围剖析学的重要意义。 北京大学非线性剖析学派的数学家在无量维Morse理论及应用方面取得了世界先进水平的重要研讨成果。 下面关于动力系统和几何剖析两个方向中止扼要引见。 动力系统来源于经典力学的数学模型。经过常微分方程和偏微分方程分别描写的有限维与无限维系统的演化，再到笼统的拓扑动力系统和随机动力系统，动力系统曾经在现代中心数学范畴肯定了应有的重要位置。非线性泛函剖析中的非线性半群概念就是一个动力系统概念。代数运算的半群性质是描写动力系统的主要数学结构。动力系统作为笼统系统的定性研讨，其主要特征是包含拓扑式，或遍历式的整体性研讨。哈密尔顿系统的微扰理论、Kolmogorov系统的遍历理论以及KAM定理等等都是动力系统理论中的亮点性结果。J. H. Poincaré开创的常微分方程定性理论，诸如稳定性、轨道周期性与回归性等研讨措施是动力系统学科研讨的思想措施基础。基于G. D.Birkhoff三体问题遍历性定理的研讨，而最终发现的描画哈密尔顿系统解的稳定性的KAM理论是动力系统理论的里程碑式的工作之一。在无量维的偏微分方程系统中，KAM理论也得到了深化研讨。 在通常的动力系统课程中，主要讲授以下一些基本内容：非线性微分方程系统的混沌吸收子、映射迭代与不变集、分形、拓扑动力系统，结构稳定性，Hartman定理，稳定流形定理，双曲集，Markov分割等。 我国北京大学动力系统学派，以及其它一些著名大学与研讨机构的数学家在动力舷范畴取得了具有世界水平的开创性工作。Fields奖与Wolf奖取得者中的V. I. Arnold，A. N. Kolmogorov，Elon Lindenstrauss，C. T. Mcmullen，J. K. Moser， S.P. Novikov，Y. Sinai，J. C. Yoccoz等著名数学家在动力舷范畴做出了庞大贡献。 几何剖析是大范围剖析的重要分支，以几何问题的剖析措施与剖析问题的几何背景之融合研讨而著称于数学界。特别是几何剖析范畴的一系列辉煌成就使得几何剖析具有了曾经独立于大范围剖析的特殊学术位置。世界著名华裔数学家、Fields奖及Wolf奖取得者丘成桐教授的研讨工作奠定了几何剖析的根基性学术位置，而且为偏微分方程措施应用于拓扑与几何的世界级猜测问题的处置开辟了先河。“千年数学难题”百万美圆征解七大问题之一的庞加莱猜测的处置就归功于几何剖析的无限力气。 庞加莱猜测是法国数学家庞加莱于二十世纪初提出的著名拓扑学问题：假如一个封锁空间中一切的封锁曲线都能够收缩成一点，那么这个封锁空间一定是一个三维的圆球。鉴于俄罗斯数学家佩雷尔曼对处置庞加莱猜测的庞大贡献，2006年国际数学家大会把数学最高奖Fields奖授予了佩雷尔曼，但是却遭遇了拒绝接受的尴尬状况。 在近百年的拓扑学措施无望于处置三维庞加莱猜测之际，Fields奖取得者瑟斯顿（Thurston）当时引入了几何结构的措施对三维流形中止切割，使得庞加莱猜测的处置呈现了希望的曙光。后来美国数学家理查德?汉密尔顿，遭到丘成桐用非线性偏微分方程措施处置卡拉比猜测工作的启示，运用以意大利数学家里奇（Gregorio Ricci）命名的Ricci流方程，对三维流形中止结构赂何结构的拓扑手术，使得处置三维庞加莱猜测的进程愈加实质性地迈进。在接近处置庞加莱猜测的近距离时辰，Ricci流中止空间变换时呈现的奇点这一处置庞加莱猜测的严重障碍呈现了。在关键时辰，俄罗斯数学家佩雷尔曼腾空出世，以八年独门功力，用三篇非正式期刊论文的方式，一举撼动百年难题庞加莱猜测，随之世界一流的相关数学家“众人捧材”，致使于彻底宣布庞加莱猜测被正式处置。显而易见，处置百年难题庞加莱猜测的科学意义是无比严重的。几何剖析措施也由此无比光彩。 中国几何剖析数学家们的研讨工作和研讨队伍都在国际同行中产生了积极影响。 关于大范围剖析的数学著作引荐如下： (1) D. W. Kahn, Introduction to Global Analysis, 1980。 (2) 张锦炎、钱 敏，微分动力系统导引，1991。 (3) R.Clark Robinson, An Introduction to Dynamical System:Continuous and Discrete, 2004。 (4) R.Schoen and S.-T. Yau, Lectures on Differential Geometry, 1994。 (5) D. W. Stroock, An Introduction to the Analysis of Paths on a Riemannian Manifold, 2000。 转自：算法与数学之美 |
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